主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特

公理体系的公理不够多的话当然有很多属于自身体系的问题不能回答了，这个一点不稀奇，一般的想法是逐步往这个体系里添加公理，最终应该能够达到完备化。但是哥德尔（第一）不完备定理说如果自洽（不自相矛盾）的公理体系足够大（大到其中有自然数理论），那么它就不可能通过添加有限条公理达到完备，也就是说，如果你的体系复杂到一定程度，就必然破绽百出，怎么修补都修补不过来，足够简单的体系才可能做到天衣无缝，但是体系太简单的话又没办法描写我们这个多姿多彩的世界。

希尔伯特的欧氏几何公理体系忠实描写了R^3上的几何学，因此必然是不完备的；Tarski的几何公理体系是完备的（公理体系自身是完备的，属于该体系的任何一个命题都能得到证明或者证伪），但是这个体系描写的对象只是R^3几何学的一部分，连度量都没有定义（度量要用到自然数，注意这里说的是“没有定义”，不是不允许定义度量，Tarski的几何公理体系有公理保证度量可以定义，但是没去实施），从这个意义上讲又是不完备的（不能担负起描写R^3几何学/直觉上的平面或立体几何学的任务）。

哥德尔（第二）不完备定理说任何足够复杂的自洽体系的自洽性无法在体系框架内得到证明。

至此人们对公理体系的三个要求死了大半：

1. 独立性，各条公理必须相互独立，这条其实无关紧要，很多时候为了方便特地把一些不独立的命题也加到公理行列中去；

2. 自洽性；

3. 完备性。

希尔伯特呕出七八十两血。