主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi

第一章　素数

第二节　数数素数有多少

第二段　有很多很多篇

远看忽忽悠悠，近看飘飘摇摇，不是葫芦不是瓢，水里一冲一冒。一个说是鱼肚，一个说是尿脬。二人打赌江边瞧，原来和尚洗澡。———定场诗一首。

上节课我们说到，欧几里德同学巧妙地用反证法证明了素数有无穷多个。既然是无穷多个，似乎我们就不好多说什么了。真的是这样吗？让我们听听劳动人民的呼声吧！Ｍｕｓｉｃ！

（罗文上）问世间是否此山最高　或者另有高处比天高

（甄妮上）在世间自有山比此山更高　但爱心找不到比你好

听到这段音乐脑子里还没有画面的同学，你们too young, too naïve了。自己好好反省一下。

讲到哪里了？哦，正像高山之间也可以比高矮一样，无穷多和无穷多也可能有很大的差别。一个简单的例子，在自然数中，偶数占了５０％，而完全平方数（例如１，４，９，１６，２５……）占的比例是０％，所以虽然它们两类数都有无穷多个，显然它们在整个自然树中的分布还是有很大的不同。偶数占据了半壁江山，而完全平方数则要稀疏的多。那么素数呢？它的分布是象偶数一样稠密，还是象完全平方数一样稀疏，还是介于二者之间呢？

注意　我们这里专门提到偶数和完全平方数的稠密程度不同，但是它们的元素个数是一样多的，而且和素数的个数也是一样多的，而且和自然数的个数也是一样多的。No，这不单纯是因为无穷大等于无穷大，例如它们的元素个数就小于直线上点的个数。详情请参见第三十章第四十五节。（怕了吧！作者保留随时更改章节编号的权利。）

我们知道，偶数的分布是很均匀的，而完全平方数的分布则是越来越稀疏。素数更麻烦。有时候连着一长串数都不是素数［注１］，有时候相邻的两个奇数（奇数：不能被整除的数，又称为单数）又都是素数［注２］。所以我们不能对素数的分布稀疏程度一概而论，而要找一些辅助的标准来测试它。

假设我们有两组自然数，元素的个数都一样多，大小参差不齐，那么我们怎么说一组数比另一组数更“稀疏”呢？直觉上讲，比较稀疏的一组数彼此拉得比较开，所以数字长得比较快。如果我们考虑它们的倒数和，即每个数都取倒数（用１去除）再把所有的倒数加起来，比较稀疏的一组的分母长得就比较快，所以倒数就比较小，所以倒数和就比较小。好，现在我们就规定倒数和小的一组为稀疏，倒数和大的一组为稠密。怎么样，一路走来，这个规定还算合理吧。

首先我们把这个规定应用到偶数和完全平方数身上，看看结果是不是符合我们的直觉。对于偶数，它的倒数和是

1/2+1/4+1/6+……=1/2×(1+1/2+1/3+……)

括号里面的是所有自然数的倒数和，这个和式有一个专门的名字叫做调和级数，很容易证明这个和是无穷大——严格的说，我们只知道两个、三个乃至一万亿个数如何相加，但是不知道无穷多个数如何相加，所以这里“这个和是无穷大”的意思是，如果你只加前面的若干项（１０项、１００项或是２００７项），项数越多，和越大，而且只要有足够多项，这个和可以比你事先任意指定的数都大。

那么完全平方数呢？它的倒数和是

1/1+1/4+1/9+1/16+……=π^2/6

同样的，这里“倒数和是π^2/6”的意思是，如果你只加前面的若干项，只要有足够多项，这个和可以非常非常接近于π^2/6，比你事先任意指定的精度都高。

显然π^2/6比无穷大要小，所以根据我们的规定，完全平方数比偶数稀疏，正像我们所希望的那样。不错！

现在该素数了。它的倒数和是

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+……

１７３７年，伟大的数学家欧拉证明了这个和式，就像上面的调和级数一样，也是[URL= http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_the_sum_of_the_reciprocals_of_the_primes_diverges]等于无穷大[/URL]。于是，继欧几里德之后第二个关于素数分布的大定理出现了。为了这一刻，全世界人民等了两千多年！由此结果，我们知道素数比完全平方数要稠密得多得多得多得多。

很好！可是素数和偶数相比，谁更稠密呢？或者，素数和所有２００７的倍数相比，谁更稠密呢？

又到恋爱时间了。那个什么，你们忙着，我先走了……

注１　如果想得到很长的一串数没有一个素数，例如连续２００７个数没有一个素数，最简单的办法就是考虑N=１×２×３×……×２００８。这时N＋２、N＋３、N＋４、……N＋２００８都不是素数，因为N能被２、３、……、２００８整除，所以N＋２能被２整除，N＋３能被３整除，……，N＋２００８能被２００８整除。

注２　如果相邻的两个奇数都是素数，那么它们叫做孪生素数。例如３和５，５和７，１１和１３。人们猜测有无穷多对孪生素数，但是一直没有办法证明，虽然我们能够相当容易和准确地预测小于１万亿的自然数里有多少对孪生素数。现在最好的结果还是陈景润先生得到的。一个有趣的问题是：有多少对三生素数（三个相邻的奇数都是素数）？试试看？