主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （4）什么是流形？（续3）

这篇没有上篇重要。关键部分是 4.2

4.1 边界

前面定义的流形 是没有边界的。 原因在于 定义使用的 （2/3/4 维）欧式空间的一部分 都是不必含边界的。 比如 构造 内在的粘成的橡皮膜球面 时， 我们用了两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 这是由2.3 中的 球面膜 被压扁在桌上摊成的。两圆盘的边界都是圆圈， 要不要无所谓， 反正要被粘掉 (为确定起见 我们不要)。但如果取一个圆盘， 然后发一个粘合指示说：啥也不粘，那带不带边界 就有意义了。 如果不带， 就是一个圆盘内部， 是一个2维流形。如果带了， 就是一个圆盘内部加一个称为边界的圈， 叫做 有边界的2维流形。

4.2 嵌入的（粘成的）橡皮膜球面

如果你理解了 内在的粘成的橡皮膜球面， 你能说说 啥是 嵌入的粘成的橡皮膜球面吗？ 不懂？没学过？

其实你早懂了。 这就是 2.3 中讲的 粘成的橡皮膜球面。 整个过程在 三维空间完成， 得到的自然是 嵌入在三维欧式空间的 橡皮膜球面。

内在的粘成的橡皮膜球面 和 嵌入的粘成的橡皮膜球面 有什么关系？ 显然 嵌入的粘成的橡皮膜球面 自然地给出一个 内在的粘成的橡皮膜球面。 整个3.1 3.2 3.3 讲的其实就是这回事。于是 我们说 嵌入的橡皮膜球面 和 内在的橡皮膜球面 是同胚的。 的确，从二维化橡皮膜手艺人的角度看 他们是 “一胚之球”。

然而 我们无法 从 内在的橡皮膜球面 给出嵌入（在三维空间或其它流形）的橡皮膜球面。 因为 内在的橡皮膜球面 的定义 和三维空间或其它流形毫无关联。

事实上 内在的橡皮膜球面 也可以 嵌入 比如说 4维空间。 你能在头脑中想象这一过程吗？ 其实很简单。 一个办法是先固定 一个在第4方向上的位置， 然后整个过程就和在三维空间中粘 是一样的了。 但这显然不是惟一办法。

挑战：还记得我曾给过 将4维“空间”看成三维空间加时间 的观点吗？ 上面刚讲的 在4维 粘橡皮膜球面 的办法 在时间加三维空间的观点下 意味着什么？

4.3 三维球面

前面讲的 构造 内在的橡皮膜球面 的方法也可用来 构造 三维球面（注意：之前的 橡皮膜球面 是2维的）。 如同用两片 平面膜 可以粘出 2维球面，两片 “3维块”（三维空间中实心球的内部） 可以粘出 内在的3维橡皮膜球面。（而我在 1.3 里讲的则是 嵌入的3维橡皮膜球面）。 你能大体上想象这一构造吗？ 如果不能， 我也没有好的办法。理解 内在的橡皮膜球面 很大程度上也够了。 不过至少 你应该 能接受 三维球面 局部上 和三维欧氏空间一样的事实。为什么？ 因为 它是由 三维欧氏空间的一些部分 粘成的。（回顾 3.7）

“什么是流形？”部分 至此续完。

待续

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我之前的回复中说“描述一个二维球面要用三维空间”，但是用这个粘橡皮膜的方法，可以用二维的基本单元来描述它，就可以与三维无关了。“粘”是要有重复部分的，在这里，粘成的部分和没粘到的部分，他可以被二维单元描述的。

另一个误区是，为啥不用“焊”。两个膜，边界用“焊”把一个个点焊接起来。可能这样就变成了用二维单元和一维单元来描述了。所以要用两个球在南北纬30度破开，粘起来；而不是在赤道剪开，再焊起来。

我理解“内在的”，似乎是表示它这个二维物体的某种属性。

比如如何计算流形上两点间的最小距离，如何计算流形上线之间的夹角，离两点距离最小的点怎么计算。常用的欧式空间中的一些几何公式和方法在流形上是怎么体现的？非常感谢！

似乎是所有可能粘法、和过程的集合

我这里只搞科普。

我说的是 在第四维固定一个位置 得一个三维空间， 把2维球面 嵌入这三维空间 （从而也嵌入了4维空间）。这种嵌入 意味着什么?

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （5） 弯曲的度量流形

注意了。 下面我要描述一个非常难的概念：“弯曲”。

5.1 直观的例子

嵌入的二维球面， 一根没绷直的线，圆柱体的侧面，这些应该是弯曲的。 直线， 平面，三维欧氏空间， 这些应该是平直的（即不弯曲）。

5.2 弯曲 是局部的性质

从球面上切一片下来， 这一片是弯曲的。 我们可以说这一片是弯曲的，哪怕我们不知道 他是从球上切下来的。这一片是 球面的局部。所以 弯曲 是局部的性质。

5.3 两种弯曲

圆柱体的侧面 的弯曲 和 嵌入的二维球面 的弯曲 是两种完全不同的弯曲。

此话怎讲？

平面上直角三角形 两直角边的长度平方和 等于 斜边的长度平方。 这叫勾股定理。 勾股定理极其重要， 因为在选了直角坐标系后 我们用它定义两点间的距离。

圆柱体的侧面 可由一张纸卷起来。一张纸本是平面。 在卷的工程中，既无拉伸 也无压缩， 因此平面上三角形 变成了 圆柱体的侧面上的三角形， 各边长度不变，勾股定理成立。 这意味着 在圆柱体的侧面 定义距离 和测距离 在局部上 和在平面上作 是一样的， 哪怕圆柱体的侧面是弯曲的。

对嵌入的二维球面， 这就不对了。（注意 我这里说的是 嵌入的几何球面（2.2），即 他是把嵌入的橡皮膜球面绷圆了的， 在上边画上了标准的经纬线）。 这一点，任何搞地理的都知道：地球仪上的地图 是无法在保持距离不变的情况下 被画在平面上的。这一点哪怕在局部上也是对的 （比如：地球仪上的北半球地图 是无法在保持距离不变的情况下 被画在平面上的。 而北半球 如果看成橡皮膜 是可以摊平在平面上的。）

从勾股定理的角度讲， 几何球面上 “球面三角形”不满足 勾股定理。 取赤道， 东经30度经线（从北极到赤道），东经60度经线（从北极到赤道） 这三根线。 我们得到 几何球面上的一个“三角形”。东经30度经线 垂直于 赤道（看地球仪）。所以他应是“直角边”。于是 东经60度经线 该是 “斜边”。 可是这两条经线 从北极到赤道的距离是一样。显然勾股定理不成立了。 这意味着 在嵌入的几何球面 定义距离 和测距离 哪怕在局部上 和在平面上作 是不一样的。（严格说来：我还没有讲 在嵌入的几何球面上怎么定义距离，但实际上这个距离 就是我们每天用的 不同城市间的距离。 如前所述，这种距离 和平面上基于勾股定理的距离 不一样。）这就是 圆柱体的侧面 的弯曲 和 嵌入的二维球面 的弯曲 的本质不同。

既然有两种弯曲，就应该有两个名字。圆柱体的侧面 的弯曲，我叫它“外在的弯曲”，应为它上面的 （内在的）测距离的事情 和平直的平面（即用勾股定理定义距离的平面）是一样的。相应地，嵌入的几何球面 的弯曲 叫做“内在的弯曲”。

5.4 嵌入的几何球面 等于 嵌入的橡皮膜球面 加上 度量结构

我在5.3讲了嵌入的几何球面。 这和 嵌入的橡皮膜球面 有何关系？ 回顾2.2 （或上文），嵌入的几何球面 等于 嵌入的橡皮膜球面 加上 经纬线圈。经纬线圈 是球面上定义或测距离的基础（给定两城市的经纬度，它们的距离就确定了）。更确切地说 如同 平面上我们用直角三角形 作为 定义或测距离的标架并用勾股定理定义距离， 嵌入的几何球面上 我们用 经纬线圈为边的球面三角形 作为 定义或测距离的标架。一个度量结构， 就是制定一组 定义或测距离的标架和从这些标架给出距离的法则。你可以把 定义度量结构 理解为 定义距离。（标架和法则的关系其实有些复杂， 见（8）的讨论）。

5.5 内在的弯曲 就是度量结构（距离）和平直的欧氏空间（如平直的平面，平直的三维空间）不一样。 这里平直的欧氏空间指的是 距离是用 （在平面直角坐标系下）用勾股定理定义的。平直的欧氏空间也叫 有标准度量的欧氏空间。

这是 “内在的弯曲 ” 的定义。按此定义， 嵌入的几何球面 的弯曲 的确是“内在的弯曲”。

注意 内在的弯曲是局部的性质。（见5.2）

5.6 度量结构可以放在内在的橡皮膜球面上

嵌入的橡皮膜球面 给出 内在的橡皮膜球面（见上一篇）。度量结构（距离） 可以在局部上定义， 而局部上内在的橡皮膜球面 就是平面的一部分（平面膜）， 于是我们可以在 平面膜和各种标准模块上 指定 度量结构， 然后粘起来。 如果各个局部上的 度量结构（距离） 相互匹配， 我们就拼接出一个整体的 内在的橡皮膜球面上的度量结构。

例如 嵌入的几何球面 给出 嵌入的橡皮膜球面 （忘掉经纬线圈即是了），嵌入的橡皮膜球面又给出 内在的橡皮膜球面。 同时， 我们把 嵌入的几何球面上的度量结构 以嵌入的橡皮膜球面为中转 转放到 内在的橡皮膜球面上。这个度量结构 是由 粘成 内在的橡皮膜球面的各个局部标准模块上的 度量结构 拼接成的。 这些 局部的度量结构 自动相互匹配，因为 在嵌入的橡皮膜球面上 已经自动匹配了 （否则就不会有嵌入的几何球面了）。

又例如， 你可能觉得 在用平面膜粘成内在的球面时， 如果每块平面膜给的度量结构是平面的标准度量结构（即用勾股定理定义距离）， 那么 粘成的内在的球面就有一个 平直的（即不内在弯曲的） 度量结构。 可惜这是不对的，因为 如果你这样做，不同平面膜上的度量结构一定无法匹配（这一点我不解释了）。

5.7 同一个内在的橡皮膜球面上 可以选择 （无穷多种）不同的度量结构。

很简单。拉伸一个 嵌入的几何球面。 这不改变 嵌入的和内在的橡皮膜球面（橡皮膜球面允许拉伸）。 可这改变了 度量结构 （因为距离被拉长了）。 于是我们可以转移一个 不同的 度量结构 到内在的橡皮膜球面上。

内在的橡皮膜球面 加上一个 特定的 度量结构 叫做 内在的几何球面。

5.8 内在的几何球面有 内在的弯曲（度量结构 和平面不一样）。 当然 嵌入的几何球面 也有。询问 嵌入的橡皮膜球面 或 内在的橡皮膜球面 有无内在的弯曲 是毫无意义的。因为 内在的弯曲 是度量结构的性质， 必须先指定度量结构， 然后才能问这问题。

5.9 外在的弯曲

我其实没有确切地说 什么是外在的弯曲。我不准备确切定义它。 不仅因为这个概念在将来不是很重要，也是因为 这其实就是人们 通常所说的弯曲。 只要你见到一个三维空间中的 直观上弯曲的东西， 那东西就有 外在的弯曲。 外在的弯曲 大体上 就是 以弯曲的方式 嵌入一个 流形（如三维空间）。

内在的几何球面有没有外在的弯曲? 这个问题毫无意义。因为 只有先嵌入某个流形，才能问 有没有外在的弯曲（嵌入方式弯曲）。 而 内在的几何球面 不是嵌入的流形。

问 嵌入的几何球面 有没有外在的弯曲。 这问题就有意义了。 在我们讲的例子中 它有外在的弯曲。

5.10 举例

嵌入的几何球面 既有 外在的弯曲 又有 内在的弯曲。 但这两种弯曲是两码事。

在5.3 中提到的 （嵌入的）圆柱体的侧面（上面的距离是从平直的平面转移上去的） 有 外在的弯曲 没有 内在的弯曲（5.3证明了这一点）。

在5.1中提到的 没绷直的线 有 外在的弯曲（作为嵌入的线）。如果绷直为直线 就没有外在的弯曲。 内在的线 没有 具有内在弯曲的 度量结构。 这是因为维数太低（想一想，5.3 的论证在一维无法展开）。

平面 和三维欧式空间（用勾股定理定义距离后）没有 内在弯曲， 但可以定义 有内在弯曲的 度量结构（不均匀的修改距离就行了。）平面 作为嵌入在 三维欧氏空间 的流形 没有外在弯曲。但它可以 以有外在弯曲的方式 嵌入三维欧氏空间 （把代表平面的纸卷一下就行了）。

5.11 流形的弯曲

所有一切都可以推广到流形上。 你看懂了5.1 到5.10， 就应该明白我下面写的。

1 流形 加上一个 它上面的 特定的 度量结构 叫做 度量流形。 这相当于 在流形上定义了距离。

2 是否有内在的弯曲 不是流形的性质，是度量流形的性质。度量流形 可以有内在的弯曲。是否有外在弯曲 不是度量流形的性质。

3 嵌入的度量流形 可以既有内在的弯曲 又有外在弯曲。 这两种弯曲没有关系。外在弯曲是 流形外的人 看到的直观的弯曲。

4 对我们来说，重要的是 内在的弯曲， 它可由在度量流形上 搞距离测量 来确定。

5 内在弯曲 外在弯曲 都是局部的性质。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

我们所谓“大地”，即地球表面，实际上是一个球面，人，如果不借助任何高科技工具，而是还原为一个古代人的知识和视角，那么人在观察大地的时候，由于人的视野的局限性，或者说局部性，就会认为大地是一个平面（除了可以忽略的山峦的起伏），甚至于把天作为一个碗扣在平面上。这个例子，就侧证，二维球面在局部上的性质等同于二维欧式平面。但是地球表面作为一个整体，显然是和欧式二维平面是迥异的：地球表面作为球面是有限的，欧式二维平面则无限。

不知我这个例子楼主是否认可？

或者可以认为是用四维空间描述来描述一个2维球面.

高维空间如果作为一个单个的整体去想像，则很困难。

N维空间如果作为其低一维空间（N-1维）的集合来看，则我感觉在概念上容易接受一些。

所谓欧式二维平面，即非平面，而是线的集合。

所谓欧式三维空间，即非空间，而是面的集合。

所谓思维空间，即三维空间的集合。

当然这里的集合，不是简单的集合，而是存在某种有序性。

把集合的观点和有序的观点结合起来，也许可以说，

高维空间乃是其低一维空间之“流”。