主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

【第十九章：积分变换的应用】

习题解答做了第1-4题。第5题偷懒没做；第6题不知该如何列方程。

关于这章我没有什么太多可说的。只是提供几本关于积分变换的参考资料。

1. U. Cherubini, G. D. Lunga, S. Mulinacci, and P. Rossi. Fourier Transform Methods in Finance.

2. B. Davies. Integral Transforms and Their Applications, 3rd edition.

3. L. Debnath and D. Bhatta. Integral Transforms and Their Applications, 2nd edition.

4. D. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd edition.

5. A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, I, II.

6. A.Poularikas. Transforms and Applications Handbook, 3rd edition.

7. J. Schiff. The Laplace Transform: Theory and Applications.

谈几点看法。

第一、在没有Mathematica的年代，物理学家和工程师往往需要查这些手册表格来推演公式。即使现在有了Mathematica，有这些资料在案头做参考也是好的：兄弟我就曾经在工作中把Mathematica搞得神经崩溃了，后来靠了手动查资料才解决问题（ 有些怀念那段和特殊函数们同吃同睡的日子了）。

第二、无论理论上多么漂亮，实践中我们都需要用计算机来进行计算。所以我们不能只满足于推导一些closed-form的公式，而要确实解决问题。说白了，就是要给出一个数字作为结果，并给出误差估计。

在这方面，理论结合实际、实践检验真理的典范就是把我们学来的理论方法用到挣钱、卫星上天这种事情上去：数字不准或者误差估计不好，就是公司破产、个人破财、国家航天事业受损这样“影响极其恶劣，不杀不足以平民愤”的结果。

所以我在这里重点推荐 Fourier Transform Methods in Finance 和 Transform Methods for Solving Partial Differential Equations这两本书。前者浅显易懂，直接应用到了金融建模中。后者的作者 Dean Duffy博士毕业于麻省理工，曾长期为美国军方效力（美国海军学院、美国军事学院、美国空军），现在是美国航空航天局的工程师。他写的这本关于积分变换的书和另外一本关于格林函数的书（稍后会提），实用性和针对性都非常的强，解决的都是他自己和他的同事朋友们在工作中遇到的实际问题。他写书的一个特色就是提供“一条龙”的解决方案：不但有理论公式推导，更重要的是有数值计算的解决方案。

当然我们不能指望他在书中告诉我们他都工作过哪些具体问题，但是我希望国内的工程技术人员能够从中有所收益。

第三、以我浅薄的学问，是没有资格在这里谈论数学物理方法和特殊函数的 --- 专业不对口啊。而且老实说，中国大学里本科阶段教授的数学物理方法是非常简单的，不足以专门用来开帖讨论。但我终究还是冒昧地开贴了。无他，有恃无恐的是“钢多气少”，也就是资料丰富而已。

抗美援朝的时候，毛主席曾有“美国人钢多气少，中国人钢少气多”的评论。时代发展到今天，由于互联网和开放课程开源运动的兴起，中华民族正面临一个千载难逢的赶超机会。如果我的这个系列帖子能够把美国的“钢”源源本本地传递给国内的学子和科技人员，那我的一个主要目的就达到了。这大概就是历史对于我们这些尴尬地夹在时代的裂缝之间的过渡性人物的要求吧。

【第二十章：格林函数】

我对教材里的讲法不太满意，主要是太强调技巧，有些见“树”而不见“森林”的感觉。我所心仪的讲法是把格林函数作为微分算子的逆算子来看。然后从这个“高观点”出发，对各种寻找格林函数的技巧做一个统一处理。这种讲法的好处是可以把有限维线性空间、积分方程、泛函分析作为一个有机的整体，按照华罗庚先生“一条龙”的方式一气呵成地讲出来。尤其考虑到北大版的这本教材没有专门讲积分方程（复旦版则讲了）。

这种讲法的路线图是先从Roach 的 Green’s Functions 开始，从线性代数自然地过渡到积分方程，引出高观点。然后介绍上文提到过的Dean Duffy博士的Green’s Functions with Application，尤其强调具体的使用和数值方法。最后再介绍Dieudonne的History of Funtional Analysi，为以后泛函分析的学习打下坚实的基础（例如前面提过的Lax的 Functional Analysis，或者是Lebedev和Vorovich合著的Functional Analysis in Mechanics）。

我原打算把Roach书上的习题都解答一遍（都不难），然后再把吴崇试书里这一章的习题解答一遍，并在适当的地方给予“高观点”的评论。但遗憾的是，我一直没有时间精力完成此项工作，所以这一章的习题解答只好交白卷了。作为补偿，我上传了Duffy、Dieudonne、Lebedev & Vorovich的书，大家可以自己尝试一下，看这条路是否走得通。

【第二十一章：变分法初步】

这一章的内容其实比较庞杂，理论分析、数值解法都有一些。我学习时的主要参考书是 Gelfand 和 Fomin 合著的 Calculus of Variations。这大概是学术界公认的最好的变分法教材。比较突出的特点是叙述非常详细，读来有娓娓道来的感觉。同时覆盖面很广，短短200多页的篇幅，把变分法的来龙去脉解释得一清二楚。其中场论的章节对于物理系的同学们以后学习分析力学（汉密尔顿力学和拉格朗日力学）帮助很大。该书对于控制论的学习也不无裨益（参见Fleming 和 Rishel的著作 Deterministic and Stochastic Optimal Control。这本书很有名，但是我个人不推荐。）

Calculus of Variations这本书的作者之一Gelfand （中译名盖尔方德）是前苏联著名数学家，苏联数学学派的领袖人物，列宁奖和沃尔夫奖获得者，皇家学会会员，美国科学院外籍院士，“二十世纪最伟大的数学家之一”（纽约时报）。所以从这本书里学习变分法，不用担心投错了主公。事实上，如果让我来开一个一学期的变分法课程，我一定会选这本书，并且让学生们把章末的习题都做一遍。

回到吴崇试的《数学物理方法》。章末有6道习题，我只做了第1-3题。原因是去年冬天熬夜熬得太厉害，最终生病了，所以写完第3题的解答后就去度假休养了--赶在了BP漏油之前玩了西加勒比海，呵呵呵。

课本上最后一节讲了一点瑞利-里兹方法。我觉得篇幅太短，讲得不够透彻。所以从 Gelfand & Fomin的书上摘录了部分内容，做了一个小结。这是习题解答里的第21.2小节。同时也摘录了他们书上的3道习题，做了解答。

有意思的是，在我对其中一道习题给出解式，并试图用Matlab做一个数值试验的时候，Matlab报错了。原因是计算涉及的矩阵性质不太好，造成了算法的不稳定性。我正在写 Numerical Linear Algebra (by Trefethen and Bau)的习题解答。到时候大家可以试试看，用上数值线性代数的知识，我们是否能够设计出稳定强健的算法来。

我希望这个例子可以让同学们意识到，写出公式只是第一步，后面还有大量的工作需要做。做理论的千万不要觉得自己了不起翘尾巴，一定要和工程师以及一线的技术工人一起摸爬滚打，才能真正地把问题吃透解决掉。

【第二十二章：数学物理方程综述】

对于这部分内容，我建议大家查阅丁同仁李承治的著作《常微分方程教程》（高等教育出版社）最后两章的内容作为补充（首次积分、一阶偏微分方程）。

我在这章的习题解答里加了一个小结，对二阶线性偏微分方程做了一个总结。章末的习题也都做了，希望对大家有所帮助。

文末我加了一个附录，活学活用对数学金融里的 Black-Scholes 方程的推导及解答做了一个示范，希望对大家准备面试有所帮助。

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基本上这就是我要谈论的了。我这一路下来，对吴崇试教授的这本教材提了不少批评意见，可能有读者对此有看法，或者对我个人，或者对这本书。我解释一下。

这本书是一本相当不错的教材，和国内外的同类教材相比较并不逊色。否则我也不会为它写了100多页的习题解答。由于篇幅所限，这本书作为本科生的入门教材没办法讲太多的东西，而我又带着“引出更多参考资料”的目的，所以批评起来难免刻薄，让人觉得这本教材写得太浅。

同时，我个人又带着学数学出身的偏见，哲学观方法观和物理科班出身的有所不同。例如我偏好用统一的“道”去统摄各种具体的“术”，这是典型的布尔巴基风格（我出身法国概率学派，所以这个毛病非常的明显）。

但这是后知后觉的“整理”，与现实中科研进展的曲折反复是不符合的。推而广之，用“高观点”整理过的东西，往往容易让人误以为历史的发展是线性的。实际上这是违背历史的本来面目的。

我借此场合再次重申一点：我自己学问不高，前面的若干见解几乎都是自己瞎琢磨。所以偏颇乃至错误是难免的。请大家用批判的态度阅读我的帖子。

接下来给上传资料写个总目录，并做点评论,尤其是关于数值方法的。随后结束“数学物理方法和特殊函数”这个主题。

（待续）

文件上载在http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。下面是上传文件的目录。

北大版《数学物理方法》（第二版，吴崇试编著）习题解答（solution_PKU_methods_of_math_physics.rar）

【1】wu_public.tex, wu_public.pdf

【2】qazi.pdf

【3】rieman_surface_1.pdf, rieman_surface_2.pdf

【4】solving_recurrence_relations.pdf, solving_recurrence_relations.ps.

渐进分析（asymptotic_analysis.rar）

【1】Hardy. Divergent Series

【2】Wong. Asymptotic Approximations of Integrals

【3】de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis.

【4】Erdelyi. Asymptotic Expansions.

【5】Dingle. Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation

复分析（complex_analysis.rar）

【1】J. B. Conway. Functions of One Complex Variable, 2nd edition.

【2】Gong Sheng. Concise Complex Analysis, 2nd edition. (有中文版《简明复分析》，龚昇著)

【3】E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis.

【4】T. Driscoll and L. Trefethen. Schwarz-Christoffel Mapping.

我不是相关的专家，但是我依稀记得共形映射（conformal mapping）在流体力学和电磁力学中很有用，因为它可以把不规则区域映射为性质很好的规则区域，从而把不规则区域上的偏微分方程变换为定义在规则区域上的偏微分方程，以便于我们求解。这种变换的一个系统方法就是Schwarz-Christoffel mapping。参考资料【4】的作者之一Lloyd Trefethen是牛津大学著名的数值分析学家。他在【4】这本书里面，为各种区域之间的共形变换提供了具体的公式和数值方法，非常实用。希望这本短小精悍的专著能够对我们的工程技术人员有所帮助。

积分变换（integral_transform.rar）

【1】U. Cherubini, G. D. Lunga, S. Mulinacci, and P. Rossi. Fourier Transform Methods in Finance.

【2】B. Davies. Integral Transforms and Their Applications, 3rd edition.

【3】L. Debnath and D. Bhatta. Integral Transforms and Their Applications, 2nd edition.

【4】D. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd edition.

【5】A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, I, II.

【6】A.Poularikas. Transforms and Applications Handbook, 3rd edition.

【7】J. Schiff. The Laplace Transform: Theory and Applications.

格林函数（greens_functions.rar）

【1】D. Duffy. Green’s functions with Applications.

【2】J. Dieudonne. History of Functional Analysis.

【3】L. P. Lebedev and I. I. Vororich. Functional Analysis in Mechanics

变分法（calculus_of_variations.rar)

【1】I. M. Gelfand and S. V. Folmin. Calculus of Variations.

【2】W. G. Smiley and G. C. Evans. The First Variation of A Functional. Bull. Amer. Math. Soc. Volume 36, Number 6 (1930), 427-433.

数学物理方法（methods_of_math_physics.rar）

【1】R. Courant and D. Hilbert. Methods of Mathematical Physics I, II.

【2】P. Morse and H. Feshbach. Methods of Theoretical Physics, I, II.

【3】C. Harper. Analytic Methods in Physics.

【4】C. Pope. Methods of Theoretical Physics.

【5】M. Masujima. Applied Mathematics in Theoretical Physics. （主要关于积分方程和变分法）

【6】L. I. Sedov. Similarity and Dimensional Methods in Mechanics.（维度分析，对物理专业有用）

数学物理方法中文教材（chinese_methods_of_math_physics.rar)

【1】《数学物理方法》（复旦大学出版社，胡嗣柱、倪光炯编著）

【2】《数学物理方法解题指导》（高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军著）

【3】《数学物理方法教程》（南开大学出版社，潘忠诚编）

【4】《数学物理方法》（科学出版社，汪德新编著）

【5】《广义函数与数学物理方程》（高等教育出版社，第二版，齐民友、吴方同编）

【6】《数学物理方法》（李政道）

偏微分方程解析解（pde.rar）

【1】H. Bateman. Partial Differential Equations of Mathematical Physics.

【2】G. Evans, J. Blackledge and P. Yardley. Analytic Methods for Partial Differential Equations.

【3】R. Iorio and V. Iorio. Fourier Analysis and Partial Differential Equations.

【4】S. V. Meleshko. Methods for Constructing Exact Solutions of Partial Differential Equations.

特殊函数（special_functions.rar）

【1】W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling and B. Flannery. Numerical Recipes in C, 2nd edition.

【2】M. Abramowitz and I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.

【3】I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products, 7th edition.

【4】G. Andrews, R. Askey and R. Roy. Special Functions.

【5】R. Bellman. A Brief Introduction to Theta Functions.

【6】A. Cayley. An Elementary Treatise on Elliptic Functions.

【7】A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1, 2, 3.

【8】A. Levelt. Hypergeometric Functions.

【9】A. Nikiforov and V. Uvarov. Special Functions of Mathematical Physics.

【10】G. Szego. Orthogonal Polynomials.

【11】E. C. Titchmarsh. The Theory of the Riemann Zeta Function.

【12】Wang and Guo. Speical Functions.

【13】王竹溪，郭敦仁：特殊函数论

【14】G. Watson. A Treatise on the Theory of Bessel Functions.

【15】A. Zygmund. Trigonometric Series, Volume I, II.

【16】刘式适，刘式达：特殊函数

前面说过，无论多好的理论，多漂亮的公式，最后往往都需要用计算机实现出来。Numerical Recipes in C 这本书是就是帮助我们实现这一步的经典参考书，其中介绍了很多实现特殊函数的算法，并配有C代码。

Abramowitz & Stegun和Gradshteyn & Ryzhik则是非常实用的数学手册，里面给出了各种函数的逼近公式，便于我们用计算机代码去实现。前者在美国非常流行，连同Numerical Recipes in C，在我同事们间几乎是人手一册。后者则在前苏联地区享有盛誉，是俄国人做科研经常引用的文献。

对于工作中涉及数值计算的网友们来说，可能这三本参考书的有用程度超过了我前面所有的“高观点”和习题解答的总和。

（完）

"现在谈谈《数学物理方法》这本教材的第二部分：数学物理方程。我把这一部分翻来覆去地看了几遍，发现将近两百页的篇幅其实就写了四个大字：“变换”、“逼近”。"

我再补充两条或着说换一个角度解释

1"等价"，当然这是你变换的前提，差不多，只是更物理一些

2。"内容与形式无关"，或者说所讨论的物理定律都要与坐标选取无关，微分几何.

这就是爱广相和杨规范场了，神了，杨厉害；

你引的毛关于钢与气很厉害。谢你的好文。

Wilmott on Quantitative Finance，by Paul Wilmott。

这本书的电子版我已经上传了。网友们还可以去英文亚马逊的网站上读读书评。

这本书的第一点好处是足够简单，任何理工科的大学生都能读懂（作者这么吹嘘，我也这么认为）。

它的第二点好处是覆盖面比较广，可以让读者很快地熟悉各种技术名词和概念。

第三点好处是引用了大量资料。通过用 gigapedia 下载，可以获得丰富的信息。

最后就是语言简单，很多地方用公式来说明。对于英语非母语的读者来说，理解起来很容易。与John Hull 的书(Options, Futures, and other Derivatives)相比较，Hull的书显得太罗嗦，有些地方过于冗长（可能与面向对象多为商学院学生有关）。

对想要学习定量金融的理工科大学生，我个人推荐 Wilmott 的这本书。这本书可以放在Shreve的Stochastic Calculus for Finance之前读，作为一个很好的热身。

• del

花！

祝工作好，休息好。

可惜了我以前学的数学，金融的数学学起来是无穷尽的，我现在基本上只用得上加减乘除方差。以前用了大功夫，如今效用几乎为零

Shiryaev的两本书都反了一下。 尤其是概率非常不错。

美国的普通教材呢都太通俗化了，生怕和实际联系不上。

谢了

Brownian Motion and Stochastic Calculus(by Karatzas&Shreve)的习题答案吗？（里面部分题已经附有答案了，不过还是有很多没有）

以前看了Oksendal的Stochastic Different Equations，很多地方没弄懂。这学期想看这两人的Methods of Mathematical Finance，发现基础太差，随机分析的基础还是要再打打。

对所有矿工路上的兄弟是超级棒的资料！

Karatzas & Shreve 那本书习题来源太杂。

我不会做 Karatzas & Shreve，主要是它的习题内容太杂，量也比较大，我现在没有时间精力。但是书的内容是不错的。

Oksendal的书其实比较简单，但一个问题是作者可能为了科普，有些东西没有说清。比如用随机微分方程弱解的唯一性来证明方程解的强马可夫性质，书上讲得就是一团浆糊。所以在我贴的Oksendal书的习题解答里，我特地澄清了一下（习题9.2解答后面的评论，第22页）。

你所谓的“基础”问题，我个人猜测是“测度论”的问题。如果你想要做理论，把这方面的基础打扎实，可以看严加安先生的《测度论讲义》。如果你在读博士，可以试着读完Kallenberg的 Foundations of Modern Probability。

我第一次读到该书时惊为天人：居然能够如此精炼清晰地把如此多的东西塞到600多页的篇幅里。可惜我发现它的时候已经很晚，没有时间去做习题解答了。

随机微积分如果只是应用的话，不需要太深厚的理论基础：记住伊藤公式并把它作为一种形式运算就行了。但在对微分方程做 manipulation 的时候，靠的就是常微分方程上的训练（参考丁同仁李承治的《常微分方程教程》的头几章）：例如我在Shreve书和Oksendal书的习题解答里，反复用的基本就只有一招----积分因子法。

所以基本功很重要，这也是我这个系列帖子从数学分析讲起的原因。下一帖可能要明年初了，仍然会讲很基本的东西：线性代数。到时会贴Lax的Linear Algebra和Trefethen & Bau的Numerical Linear Algebra的习题解答，顺带讲讲学习线性代数的四个不同角度。

关于随机微分方程的教材或者参考书，可能很多人没有想到的是一本中文书：龚光鲁先生的《随机微分方程》。你去读一读该书的前言，看看他写书的背景，就明白我的用意了（我一向是走捷径的）。但可惜龚先生的考据做得不够细，很多结果的原始英文出处没有，所以对科研人员引用文献造成了一定的困难。我个人习惯是去他的那本书上看看某个结果最广泛的适用条件是什么，然后再去找具体出处。

总结起来：测度论的基础用严先生的书，随机微分方程的理论手册用龚先生的书，大而全的参考书用 Kallenberg。做应用的在具体计算上的训练用Oksendal和Durrett的书。如果还嫌东西太深，就读Greg Lawler 的 Introduction to Stochastic Process, 2nd Edition。习题全做（这本书有大爱）。

如果你想学数学金融的话，Karatzas & Shreve 的Method那本书太形式化，我不喜欢 -- N年前我会喜欢，但见过足够多的东西后，我现在已经不关心数学的形式化和严格化了。

数学金融中的 arbitrage pricing theory 已经成熟：既不能提供太好的理论研究课题，学起来也太费时间。所以后来人学习的重点应该放到应用上，例如最优化理论和控制论（Karatzas & Shreve 的看家本领就是这个东西）。与其读大书、花功夫消化已经成熟的理论，不如看具体的例子获得直观，然后把时间精力放到具体的应用领域，例如最优化理论和控制论上。

如前所言，学问都是一环扣一环的。前面常微分方程没有打好基础，后面的随机微分方程和控制论就会迷糊；前面数学分析的基础没打好，后面的最优化理论和数值分析也会觉得困难--我以前特意讲了点微分流形，就是为了后面“高观点”理解最优化理论做铺垫。

我个人体会，读书犹如练功，可以从内往外练，也可以从外往内练。前者的问题在于出效果太慢，好处是非常扎实，越往后越快。后者的问题在于容易一开始把人心搞花，然后就收不回来练内功了；好处是见效快，容易让自己比较快地有个安身立命的地方。

是系统具有某种对称性，通过分离变量把一个高维的问题简化为一个低维的问题。比如量子力学里面两个粒子相互作用的问题。一般假设两个粒子的相互作用与方向无关（各向同性），通过分离变量，三维的薛定谔方程简化成一维的微分方程。