主题：【原创】概率论中几个著名的悖论 -- earthcolor
在【讨论】“纯随机”和“偶然”：关于概率的讨论 中，列出一些与概率相关的资料。在这里，列出一些概率论中几个著名的悖论。这些悖论，对概率论的哲学思考起了很大的作用。
１）彼得堡悖论。前面已经提到了，这里重复一下。假设玩这样一个游戏，你抛硬币，在第一次时出现正面，你赢2块钱。在第二次时出现正面，你赢2*2块钱。以此类推，在第n次时出现正面，你赢2的n次方的钱。问题是：你愿意付多少钱参加这个游戏？
根据概率论中期望的定义，在这个游戏中，你赢钱的期望值是无限大。在一个公平的游戏中，应该是你会赢的钱等于你所付的钱。但在实际中，没有人愿意付无限多的钱来玩这个游戏。这时你愿意付的钱和赢钱的期望不一致，导致很多人对概率论中的理性人的假设进行怀疑，使得很多研究者不相信概率论，不愿意进行相关的研究。
２）弦长度的悖论。在圆中人以画一条弦，问这条弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长的概率。有三种解法：ａ）弦的中点落在半径为ｒ／２（ｒ为原圆的半径）的小圆时，弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长，所以概率为１／４；ｂ）弦的一个端点固定，另一个端点在圆上运动。以第一个端点开始将圆周三等分，如果另一个端点落在正对第一个端点的弧上，弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长，所以概率为１／３；ｃ）给定一个弦，有一个垂直于这个弦的半径。当弦的中点处在离圆心近的１／２时，弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长，所以概率为１／２。
３）如何确定基本不可分割事件
同时抛两枚硬币，会有几种结果出现？ａ）３种：两个正面，两个反面，和一正一反；ｂ）４种：两个正面，两个反面，Ａ为正Ｂ为反，Ａ为反Ｂ为正。哪一个正确？没有定论。在这里，基本不可分割事件取决于两枚硬币是不是可以互相区别的？如果两枚硬币不可以互相区别，ａ）更有道理；如果两枚硬币可以互相区别，ｂ）更有道理。
在物理学中，Boltzmann统计理论支持ｂ），Bose-Einstein统计理论支持ａ）．
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有人也做过其它的试验，验证相应的结果，得出不同的结论。
Jaynes (not Keynes) 在1973年作了一个试验，他在地上画一个圆，然后随机抛一个短棍，最后测量这个短棍与圆相交的弦长。在这个实验中，他的结论支持1/2的概率。
不过，有些考虑概率中哲学问题的学者，认为这些问题很重要。这些问题影响概率的本质，和建立概率概念的原理。
彼得堡悖论的一个实际例子：一个公司发展迅速、前景不可限量，预期收益是无限的；这时，你愿意出多少钱买这个公司的股票？
现在，不同国家股市的市盈率不同。而这个市盈率，就反映了不同投资者在彼得堡悖论中，愿意付的钱来玩这个游戏.
同样的问题3，我在生物遗传学中碰到了。
To estimate the ancestral state accuracy with a given data set, which tree topology will be good， labeled trees or unlabeled trees? Currently I am still doing some experiments. I need some arguments to support the experiment results.
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我觉得您对概率论的认识好像来自于科普读物，而不是认真的教科书。
对于你谈到的第一条
概率论里从没有什么理性人的假设，也不关心现实生活中的人的欲望，这是经济学家的研究对象。对于彼得堡悖论，用utility function就可以简单解释。
你的第二个问题，许多教材都有详细的讲解。这是一个典型的ill-proposed question，题目中没有给出具体的probability measure。
第三个问题，如果两枚硬币可区分，那答案就是4种，反之，答案是3种。Boltzmann统计中研究对象是经典粒子，是可区分的。Bose-Einstein统计中波色子的波函数是对称的。
我想你把概率论的范畴，统计学的方法，和对概率这个概念的哲学解释混淆了。
概率论涉及数学和哲学两部分。在概率论中，数学部分基本相同的。而哲学的解释部分有很大差异。这样，同样的数学计算结果，不同人有不同的解释，也就有了不 同的应用，导致的最终结果差异很大，尤其是在社会科学方面，比如概率在法律中的应用。美国的辛普森案件中，就有很多人讨论概率。有兴趣的google一 下。
在概率论的哲学解释上，概括地可以归为两类：主观的观点和客观的观点。主观的概率论观点认为：概率是人的认识问题。典型的例子包括个人对不同事件的评价：个人以多大的程度相信股市会上涨或下跌。这方面包括：经典概率论，逻辑论和狭义的主观论。客观的概率论观点认为：概率是物质世界的特性，独立与人存在。典型的例子包括：铀同位素在一定时间内衰变的可能性。
以下的内容主要来自这本书：
Philosophical theories of probability / Donald Gillies.London ; New York : Routledge , 2000.这本书探讨了多种概率的定义。1）classical theory; 2) logical theory; 3) subjective theory; 4) frequency theory; 5) propensity theory
逻辑论的概率论。（belief之一）这个理论认为概率是理性信心的度量。在这个理论中，假设给定相同的证据，理性的人应该有相同的信心程度（相同的概率）。Probability is described as ‘degree of partial entailment (partial entailment is from logic). ‘degree of rational belief’.
The principle of Indifference asserts that if there is no known reason for predicting of our subjects one rather than another of several alternatives, then relatively to such knowledge the assertions of each of these alternatives have an equal probability. (Keynes 1921:42)
Paradoxes of Principle of Indifference: The probability that the chord is longer than the side of the equilateral triangle inscribed in the circle. The probability depends on the method to construct the probability space.
Keynes: There are logical relations of probability between pairs of propositions, and these can be in some sense perceived.
一个公司在单位时间的收入会有变化，这个变化服从一定的概率分布。预期收益是不同时间内收入的期望
我们谈的对象有两个一个是概率，一个是概率论。概率论是研究概率的，但研究概率的不全是概率论。
我查了几个百科全书，概率论，probability theory,是一个数学分枝。在概率论里，概率就是一个sample space,sigma-algebra,再加上probability measure。
数学家不关心人们在日常生活中怎么解释概率，就像几何学家从不关心人们怎么理解什么是直线一样。你可以问诸如光线算不算是直线这样的问题，但几何学家根本不在乎，除非他吃饱了撑着。
a 给定圆，任取一弦，圆内各点成为弦中点的概率不一定相等，显然圆心是个特例，因此a算法错误
c 给定圆，给定一直径，任取一与该直径垂直的弦，直径上各点成为垂足的概率不一定相等，因此c算法错误
b 给定圆，给定圆上一点，任取一过该定点的弦，圆上其他点成为另一端点的概率是相等的，因此b算法正确