主题：【原创】由物理学的公理化趋势引出的（非常枯燥，感性的同志们慎入） -- 煦鲤鱼

俺在科技版也留个名，这个这个，有点虚荣啊~~

没有现成东西，一时也写不出来~~咋办？有办法。

翻出以前LD的一篇随笔，曾经被我抄去交了科学史的作业~~~贴上来充数。

河里学物理的大牛肯定不少，抛块砖听听水响，没准能引出块玉来。~~

“物理定律是被发现的吗？”

乍看起来，对这一问题的回答是勿庸置疑的——

“在人类历史的发展过程中，随着对各种自然现象不断进行观察、分析、概括、总结，最终发现隐藏在这些自然现象背后的物理规律”——这是对人类获得物理定律的过程的一个一般性描述。

然而，自本世纪初以来，随着近代物理学的兴起及不断发展，这一描述的确切性却越来越使人感到怀疑，其中相对论、统计物理、对称与守恒等理论的建立与发展过程颇具代表性。在这些理论中，观测与实验所起到的作用主要是验证理论所导出的结果，而并没有被摆在一个理论基础的地位上，取而代之的却是一条或几条假设。

例如，相对论最根本的基础仅仅是一条相对性假设（即所有参考系平权），而整套统计物理学则建立于等概率假设之上。这些最初始的假设并不能从观测中得到，至少是不能直接得到。尽管在它们背后隐藏着复杂的哲学背景与深刻的思想内涵，但这些假设本身却具有着类似公理的特征——它们是“不证自明的”，或者说“只有这样才是合理的”。

在这些假设作出之后，导出物理定律的过程则主要是一系列以纯思维活动为特征的数学过程。例如，作为相对论基础的相对性假设实际上是说明了所有物理学观测所得到的结果都应当满足相同的物理规律，而不论观测的条件如何。这一假设本身并没有对任何物理定律的具体内容作出说明，但实际上它对物理定律的形式有着很强的限制，换句话说，要满足这一假设，可以证明物理定律将必须是现在这个样子。

物理学研究中的这一新特点很容易使人联想起数学上的公理化方法，并且目前已有人在不断尝试将物理学公理化的努力。那么，物理学究竟是否能够公理化呢？

早在古希腊时代，思想家们就已经意识到：任何结论的得出必须有一定的前提。在当时颇为流行的哲学辩论中，提出论点的一方首先给出得出该结论的前提，如果对方不承认该前提的正确性，则前者再给出更基本的前提，或者要求对方先暂时承认其正确性，然后论辩方可得以进行。此时论辩的内容实质上仅涉及推证的严密性。这种论证方式不断得到完善，形成了一套相当严格的公理化思想体系，即将所有结论建立在少数几个无需论证便可被所有人接受的基本论点（公理）之上，并且为了保证后续推证过程的规范性，同时还建立了相当完善的逻辑推演规则。这一思想体系以欧几里德《几何原本》的完成为其顶峰，之后随着古希腊文明的衰落而渐趋式微，直到文艺复兴时期才逐步恢复元气，并首先在数学研究领域确立起基础性的地位。

随着数学研究的不断推进，这一思想体系本身也在不断发展。首先，数学家们认识到公理本身与以公理为前提的后续推证是两个完全独立的部分，就推证过程而言，如果仅考虑推证本身的严密性，只需要求作为前提的公理集逻辑相容，而对于公理本身是否成立，或者说是否真正像古希腊的先哲们所谓的“显然的真理”并无要求。例如，假设一个公理集中包含一个命题“羊吃草”，则将该命题换为“草吃羊”决不会影响任何推证过程，尽管由此导出的结论可能会像该命题一样荒谬。正由于推证过程本身并不涉及到所推证的内容，因此完全可以将命题用抽象的符号串代替（例如用aRb代替“羊吃草”），而推证则成为一系列符号串的变换，其中变换的规则——作为逻辑的抽象——是预先给定的，并且实际上可以被当作公理来看待。原则上，任何数学证明都能够被适当地符号化（事实上，任何自然语言也同样是一种符号表示），并且通过变换规则本身的机械性，很容易检验或保证数学证明的严密性。这就是本世纪初产生数学形式化运动的起因。

尽管符号化给出了推证过程的一般形式，但它并没有给出包括前提与结论在内的具体含义，而且也不能保证它们是有意义的（例如aRb）。这些符号串的真正含义有赖于两端的代换过程——将作为前提的命题代换为初始的符号串及将最终导出的符号串代换为真实的结论。这种代换过程并不仅仅是简单的文字替换，例如把这些符号替换为玛雅文字恐怕对大多数数学家而言将毫无意义，甚至可能更糟。事实上，真正进行代入的是某种被人们所理解的含义，或者称为概念，而不是它们在任何一种语言中的发音或书写形状。正是这种概念的组合赋予了所对应的符号串的含义，但与此同时，概念本身的准确性也就影响了最终（赋予含义之后的）结论的严密性。为了保证概念的准确性，我们必须能够给出严格的、没有丝毫歧义的定义。

遗憾的是，由于任何定义必须基于某些已有的概念之上，因此并不是对所有概念都可以进行这样的定义。例如，假若某人想要通过英文版的牛津大词典来掌握所有英文单词的含义，那么他必须至少已经知道一个最小集合的英文单词的含义，否则他根本无从开始。同样，要研究欧氏几何，也必须至少已经明确所谓“点”、“线”、“面”等概念的含义，否则《几何原本》中的任何一部分内容都不可能有助于明确这一点。这些无法在体系内严格定义的概念称为原始概念。原始概念的这种“不言而知”的特点看起来非常类似于公理“不证自明”的特点，实际上这两者也确实具有着非常紧密的内在联系。由于公理本身也同样是概念的组合，因此公理之所以能够被承认已经包含了对这些概念的共同认知。例如，假若“羊吃草”是一个公理系中的一个公理，那么它之所以能够成为公理是因为人们对“羊”的各种属性的认知，包括其以草为食物的属性（另外还有对“吃”及“草”的认知）；而另一个命题“狼吃草”则将不会被纳入公理系，尽管该命题符号化之后的形式同样是“aRb”。由此可知，公理实际上是被隐含在原始概念之中的。反过来看，公理也可以作为原始概念的某些方面的描述，尽管任何一个公理系都并不需要也不可能成为所有原始概念的完整描述。

如果拿物理学与数学作一个简单的比较，不难发现这两者之间至少在推证过程上其实是完全一致的：以某些基本命题为基础按照给定规则进行符号串变换。实际上，由于数学与物理学的共生，迄今所有物理定律最终都以数学形式进行表达，其推导过程因此也就完全成为数学推导。单从这一点来看，对物理学进行公理化并无不妥。

但就公理化思想的另一要素——原始概念集而言，物理学却要复杂得多。由于物理学所研究的对象——客观世界的多样性，要给出能够完全涵盖（至少是间接涵盖）所有物理现象的原始概念集决非易事。例如，仅仅在经典力学的范畴内不可能导出电荷的概念。这意味着每当我们发现一个不能被已有概念所涵盖的现象，我们就必须至少给出一条新的公理来描述对这一现象所作出的新的原始概念。

物理学发展到现在，这一问题已显得不再象以往那样严重：尽管我们迄今仍没有任何依据以证明我们已有的理论体系已涉及到宇宙中所能发生的所有过程，但近几十年来关于三种基本相互作用、统一场、超弦等理论的研究使得大多数物理学家对此抱有充分的信心。看起来公理化的时机已经成熟，剩下的事情仅仅是将作为原始概念及公理的部分提取出来，并把整个物理学体系的脉络整理清楚而已。由于公理可看作被隐含于原始概念之中，因此问题的焦点也就主要集中在：如何提取原始概念集？

由于原始概念是给出整套公理化体系中所有命题含义的根本依据（其它概念都可通过原始概念被符号化定义，因此将命题中的这些概念的定义代入后即可得到仅由原始概念所表达的命题），因此原始概念应当是被人们“充分理解”并且在事实上无歧义的。在物理学中，最适合于这种角色的应当莫过于一些可直接观测量及由可通过这些量直接抽象出的概念，例如位置、速度、质量、时间、温度等。但从目前来看，仅靠这些概念无法表达物理学的全部内容。例如，在量子物理学中，位置与速度不再具有如经典物理学中那样清晰的含义，只能使用波函数代替；在热力学中，“物体的冷热程度”这种对温度的通俗理解不足以给出可进行逻辑推证的整套严密体系，因此采用“热力学平衡”这一概念对其进行重新定义。另外，还有一些概念是被不断修改以使其具有更大的普适性。例如能量，起初仅仅是一个力学概念，曾经被命名为“活力”，意思是说它表示了活动的“剧烈程度”（这其实仅仅对应于动能概念），而它之所以被提出是因为人们发现这种“剧烈程度”虽然有时不表现出来，但却从不消失，于是人们认为它能够以另一种形式存在，并随即提出势能概念。这是一种最初始的守恒思想。最终，在得到对称性与守恒率关系之后，由所谓“物理过程的时间反演对称性”（这是一个公理）可导出必存在一守恒量，而该守恒量被局限在经典力学的范畴内时恰恰相当于动能势能总和。于是能量这一概念被进一步扩张为“由时间反演对称所导出的守恒量”，并且为了在后续的推演过程中使用方便，它最好被表达成算子形式。这与当时所谓“活动的剧烈程度”早已大相径庭。

实际上，之所以进行这些原始概念的替换与扩张，其出动机在于归约：假定已有两个原始概念A及B（及相应公理），如果我们能够通过某种方式给出概念C（及相应公理），并且使用C可以在不破坏最终结论（指可被直接验证的结论）的前提下作出A及B的符号化定义，则我们将使用C作为原始概念来代替A及B。这种归约使我们能够将迄今所有物理过程归结为三种基本相互作用，并且——如前文所述——一定程度上带来了公理化的具体可操作性，但也付出了巨大代价——可供选用的原始概念已不再具有“不言而知”的特点。

如果说我们不能对所给出的原始概念“完全理解”的话，那么我们又如何理解由此导出的结论的含义呢？对于这一点，物理学有自己的处理方法。由于归约的重要条件是“不破坏最终结论”，归约后的公理系必须满足这一条件，因此归约不可能任意进行。换句话说，我们必须找到几个包含尚未明确给出其确切含义的符号（例如概念C）的符号串（这些符号串中必然包含将被替换的原始概念的符号定义），并保证以这几个符号串作为公理替换原有公理系中的某些公理之后仍能推证出与替换前相同的结论。之后，我们便可使用这几个用来替换的符号串作为其中尚未给出确切含义的原始概念的描述。这便是我们不断提出新的概念，并且（居然）能够将新提出的概念作为原始概念的一般方式，只不过物理学在运用这一方式时并没有象数学一样试图进行严格论证。

尽管物理学的这种极具技巧性的处理方法既实用又有效，但是却很容易使人对其薄弱的基础感到担忧。由于通过这种方式所得到的原始概念仅仅受用来替换公理系的符号串的限制（注意到在原始概念的含义给出之前，这些符号串毫无意义，因此它对原始概念的限制仅仅是符号排列方式上的限制），而除此之外，再也没有任何东西能够说明这些概念究竟具有何种含义。虽然那些从原始概念集中被替换掉的概念（或许那些概念的含义我们还比较清楚一些）在新体系中的定义有时能给我们一点提示，但也仅仅是提示而已，因为在新体系中，它们已经是被定义的概念，它们的含义将受原始概念的含义的制约，而不是相反。例如，相对论中的时间概念已经不再是普通意义上的时间概念，因为在后者的含义中已经隐含了均匀流逝的特性，而前者却并不具有这种特性。严格来讲，尽管它们有相似之处，却完全是两个不同的概念，因此前者应当用另外一个名称（或者干脆用符号alpha）以示区别。而对于这个alpha究竟是何含义，爱因斯坦本人并没有给出明确解释（也不可能给出明确解释，否则它也就不再是原始概念了），因此最终我们除了知道这个alpha满足洛仑兹变换外对它一无所知。同样，薛定谔也没有告诉我们波函数究竟是什么——除了满足他所给出的方程之外。那么，是否有可能仅仅通过那些用来替换公理系的符号串的符号排列方式就可以完全清晰、无歧义地给出新概念的所有属性呢？答案是否定的。因为假若这样可行，则那些符号串即已成为所谓“新概念”的符号化定义，从而这些“新概念”已经不再能够成为原始概念，而实际上成为系统的冗余。这一点通过歌德尔的不完备定理可以从另一个侧面更清楚地看到。该定理是说：任何一个至少包含初等代数系统的公理系统中必然存在不可证明的命题。由于任何一个命题都可以通过将概念的符号化定义代入而得到一个仅包括原始概念的等价命题，因此从概念的含义上来看，不可证明的命题表明了不能被公理系所涵盖的原始概念的某些属性，而歌德尔定理则表明了任何公理系不能完全涵盖其所使用的所有概念的所有属性，换句话说，公理隐含于概念之中，但概念却并不能被公理所完全描述。因此，只要我们引入新的概念，就必然会导致由那些随之引入的公理所不能描述的新的属性，而对于这些属性——就前文所述的引入过程来看——是无从得知的。

至此已可看出，将物理学公理化并不像想象的那么简单。事实上，即使在数学领域，上述问题也都同样存在，只是不像在物理学中那样突出而已。一个十分典型的例子是非欧几何的发展过程。起初，人们仅仅试图弄清欧氏几何中平行公理的独立性，但在证实了这一点后，问题的中心又转移到了：将平行公理的反命题作为公理替换原公理所构成的公理体系能够得到什么样的几何学？由于公理体系部分地给出了原始概念的含义，因此公理体系的变化实质上是原始概念的变化。此时，在命题的推证过程中虽仍然使用“点”、“线”、“面”等字眼，但它们其实已不再是原有的点线面概念，而是“新点”、“新线”、“新面”。但对于所有这些新概念，我们所能知道的仅仅是：它们之间的某些相互关系与欧氏几何中平行公理的反命题及其余五个公理（其实，要达到真正意义上的公理化，欧氏几何远远不只六个公理，这里只不过用它们来说明问题而已）的形式化表达相吻合。这一点远不足以向我们说明所谓的“新点”、“新线”、“新面”究竟是何含义，因此我们也确实无从理解所得到的结论——如“三角形的内角和小于（或大于，分别对应于平行公理的两个反命题中的一个）180°”——的真实含义。尽管最终数学家们将这种非欧几何归结为空间曲率不为零时的情况，但他们也承认这两种几何的原始概念确实已有很大差异，并且给予不同名称以示区别，例如将对应于欧氏几何中“直线”的概念定名为“测地线”，因为它已不再具有“直”这一特征。到了近代，数学问题中涉及到原始概念含义的例子更是不胜枚举，例如对于罗素悖论的研究、围绕选择公理的争论、实无穷与潜无穷的划分等等。这些问题总的来看，都只不过是是否采用某一命题作为公理或者采用何种命题作为公理的问题，但由于公理仅仅是原始概念的某些方面的描述，因此这些问题的实质是关于某些原始概念究竟是何含义的讨论。这些问题之所以能够存在，本身已经说明了原始概念并不像古希腊哲人们所形容的“不言而知”，每个人对其含义的理解都将有所不同。由于即使在符号推演的意义下公理系也不可能涵盖原始概念的完整含义，因此当人们对于原始概念含义的理解有所差异时，没有任何方法能够将之规范化。从这一点来说，作为一个公理系统基础的原始概念，其本身的含义是不完全确定的。由此将引出一个更为重要的问题：是否所有概念都含有一定程度的不确定性？对这一问题的分析涉及到对理解、抽象及概念本体的存在性等方面的深入探讨，已经远远超出了本文所讨论的范围，但其结论却是肯定的。这意味着，即使我们能够精确、严密地论证我们所得出的每一个结论，这些结论仍将不会是精确、严密的。

“所谓严密性，乃迄今日为止。”

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