主题：【原创】谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系 -- 不爱吱声

如果你也用数学解决问题可能也主要是有现成的数学给你用了，所以你觉得数学是工具，如果是这样的话，说数学是工具箱应该比工具好一点，可是，如果你做一些问题没有数学的改椎和锤子可用的时候就不同了

数学是语言

对数学来说，问题就是应用题，用数学解决应用题首先要把问题用数学语言写出来，或者说把问题翻译成数学语言的句子，因为数学句子是可以做各种各样的数学变化的验算的，人们就可能得到比较简单的结果，人们叫它们答案，简单就是美

不否认数学是从实践中来，到实践中去的。没有实践数学就是无本之源，但数学和工具的区别是，工具只有在有需求的时候才发明出来，但是大量的数学的突破性的进展都来源于从数学本身体现出的，直觉能够把握到的一种内在美。

楼主举的那个工具暂时不用的例子也不大合适，我没见到有任何工具在发明出来后很多时候不知道能干什么用，还能激发起人们无限的兴趣的。在这个意义上，数学更像艺术，精美的艺术品，单单把玩它就能给人带来无穷的乐趣。另外一个区别是，我们经常说工具是发明出来的，而数学的规律都是发现的。所以我提数学理论，也不看严密，也不看自洽，就看是否能给我带来直觉的美感。当然有美感的数学理论应该一定是严密和自洽的，但不是所有严密和自洽的理论都有美感。

我觉得楼主应该不是搞纯数学的。从物理和工程等应用去看数学，和从数学看数学还是有些区别的。不过这种区别不分对错，也没有贵贱高低，无非是角度不同罢了。理解事物确实应该有多个角度的

知道了改锥可以把钉子定到木头里.

别打我.

这不是我说的，我的高等数学老师王先生说的。

大学上的第一节课就是高等数学，我对此依然记忆尤新。

王先生接着说：搞数学的大多要饿死的，都过了XX年了，王先生那能耐应该不会饿死。

数学是推理体系。公理列在前面，提出推理方式，演缀法。下面的就只是技术活了。

科学要一句话概括比较困难，因为科学包括的内容太广。不过从人认知角度来说，科学是一套检测体系。科学方法的零假设就是可观测世界里各种现象背后的内在因果，可以在抽象的推理体系内通过符号推导表达。证伪性就是如果推理体系是科学的，那么符号推导的结果一定能在现实世界中通过它所对应的因果关系实现。（零假设是我自己想到得，可能前人有提到。）

因为数学就是推理体系，所以无所谓证伪性。所谓非科学就是没有推理体系，没有严密推导，再有才是可证伪。（有趣推论是中西医都是非科学,因为都没有推理体系和严密推导。被证明无效而且有害的西医疗法不见得比中医少，只是西医对自己检测手段更严格有效。中医要提高只有把对自己检测手段提得更高更严格）

非科学不等于没用，只是相当于经验的线性积累。和科学性学科的指数性积累不可比拟。

矩阵力学和波动力学的等价性是薛定谔证明的，而不是费曼。二十年代中期，薛定谔和海森堡差不多同时分别提出了波动力学和矩阵力学。几个月之后薛定谔就证明了这两种力学是等价的。后来，这个统一的量子力学数学结构被英国物理学家狄拉克（P.A.M.Dirac）进一步阐述清楚。不久，冯.诺伊曼（就是在计算机发展中起重要作用的那位）的名著《量子力学的数学基础》更利用泛函分析建立了严格的量子力学的数学结构。尽管这本书的德文版直到五十年代才被翻译成英文。费曼发明路径积分是四十年代的事情，那个时候，量子力学的数学体系早已完备。

事实上最初的矩阵力学和波动力学分别对应了态空间中的能量表象和坐标表象。因为一开始处理的都是束缚态的问题，故而能量是分立的，所以能量表象下的量子力学才以分立矩阵的面目出现。

另外楼主说数学工具的发展通常早于使用它的自然科学。这句话对于数学体系而言是对的。但是说道具体的计算方法，就不尽然了。事实上物理学中经常会碰到数学家处理不了的问题，比如一些特殊的微分方程。事实上，物理学家们真的好希望目下的数学能发展到无所不能的程度，或者至少在解微分方程上无所不能，或者在退一步，解线型微分方程上无所不能。但这只是个梦想。更多的时候物理学家求人不如求己，总是要自己想办法做各种在数学上不严格，但确实正确可用的近似。杨振宁曾经引用哈代（？）讲过的一个寓言故事，说某人抱着一对脏衣服，来到洗衣店，结果店员说“我们这里不负责洗衣服”。顾客说“可是你们店门口挂着洗衣店的牌子啊”，店员说“那只不过是一块牌子。”故事里面的顾客就是物理学家，脏衣服就是物理学中的数学问题，而店员就是数学家。

物理学家们不得已而为之使用的一些自创的数学方法，有时甚至会带动数学的发展。最著名的例子就是狄拉克的delta函数，引发了数学中的广义函数理论。也有很多物理学家是用的方法，直到现在在数学上也不能给予充分严格的阐述，也就给数学家们留下了可供研究的问题。费曼提出的路径积分就是这样一个例子。所以说，数学和自然科学的发展，其实是互动的。自然科学家们，并不是一味的被动的接受和使用数学。