主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

这个只有一节，拓扑我也学得不好，没啥好讲的。（9月2日注：又加了一节“流形”）

前面我们在代数结构(1) 什么是结构以及后面几节里讲了数学结构，还看到了诸如序结构，代数结构的例子，今天讲讲另一种数学结构：拓扑空间。

所谓的拓扑空间，就是具有“拓扑结构”的集合（“集合”和“空间”在这里差不多可以互换，叫“空间”暗示着我们的研究对象是一些图形，形成图形的那些点组成了集合）。我们知道结构是由关系形成的，拓扑结构注重的是于空间中的点之间如何“连”在一起的关系。空间中的各个点的关系通过一些叫“开集”的子集合来表述出来。中学里我们学过实数轴上有“开区间”，那就是一个开集，通过这些开区间就可以在实数轴上定义出一个拓扑空间来。应该说，拓扑结构中的通过开集定义出来的关系，和序结构以及代数结构中的关系比起来，是相当晦涩不直观的。但是它的定义却并不因此而变得复杂，也只有少少的三条公理。

我上面想说的，无非就是拓扑空间也是一种数学结构。把数学研究的对象看作是数学结构的观点，叫“结构主义”。其他学科中比如语言学中也有结构主义的观点，其中有受数学结构主义的影响的部分，但是这些数学以外的结构主义我不熟悉也不关心，就不说了。结构主义的观点是法国的布尔巴基学派提出来的，他们的巨著《数学原理》用结构主义的思想总结和整理了到那时为止的大部分的数学内容。结构主义的观点是相当有效的，甚至可以说是极其有效的，但是有效性在某些数学领域就不是那么明显，尤其是在离散数学方面。我的看法是，在科学研究方面，采取“某某主义”的态度应该是机会主义的：什么主义有用，用起来有效，就用什么主义。这个形而上的问题就扯到这里。

既然是数学结构，当然也讲同构。拓扑空间之间的同构叫做“同胚”，也许翻译者的意思是“一个胚子里做出来的”，但是千万不要字面上这么理解了。粗略地直观地说，两个空间图形是同胚的，如果其中一个可以连续地变换到另一个上去，这里的连续是说“不撕裂，不粘贴”。比如在橡皮膜上画一个圆，我们可以把橡皮膜尽力往四边一拉，这个圆就会被扯大；如果有些地方拉得重，有些地方拉得轻，圆会变形；如果拉得方式巧妙，这圆甚至可以被拉出棱角来，可以变成一个长方形或者一个三角形。但是你不能把橡皮膜给撕裂，把圆周扯裂了，变成了一条不封闭的线；也不能拿点浆糊把圆周上某两个点粘成同一个点，让圆周变成8字形。拓扑学可以看作是研究空间图形在连续的变换下还能保持不变的性质的学科。

从拓扑学家的角度来看，两个同胚的拓扑空间是一样的，是同一个东西，道理跟代数学家觉得两个同构的群或域是同一个东西一样。对于拓扑学家来说，三角形或者长方形或者圆周都是同胚的，是同一个东西，但是和一条不封闭的线或者8字形却不同。所以拓扑学被称为“橡皮膜上的几何学”。圆周是一条一维的曲线，但是更高维的空间也是同一个道理，比如正方体的表面可以想象成是橡皮膜，如果我们往里吹气的话，它会鼓起来变成一个球面，于是从拓扑学家的观点来看，正方体的表面和球面是同胚的，是同一种东西。但是轮胎面你怎么吹气也吹不出球面来，它当中总有一个洞。相反地，如果是一个带一个环柄的茶杯的表面（想象茶杯的表面也是橡皮膜而中间是空的），那么往这个茶杯面里面充气，最后也会鼓成一个轮胎面：茶杯凹下去盛水的部分在充足够气后总会鼓起来，细细的柄也可以鼓得很粗，但是杯柄和杯壁形成的那个孔洞却永远不会因为充气而消失，所以最后会被吹成轮胎面或者甜甜圈的表面。

从另一个方面也可以看出球面和甜甜圈面的不同：在球面上画一条封闭的，不自相交的曲线，然后拿剪刀把球面沿着这条曲线剪开，我们必定会把球面剪成两块。但是甜甜圈面上我却可以画一条曲线，比如这个图上

无论选哪条圆圈来剪开，都不会把甜甜圈面剪成两块。

于是从拓扑学家的观点来看，球面和甜甜圈面是不同的，但是茶杯表面和甜甜圈表面是同胚的。这就是为什么有笑话说：拓扑学家就是那些分不清茶杯和甜甜圈的人。这还不是最恶毒的，我听过的一个版本是拓扑学家搞不清地上有个洞和屁股的区别……

在这里我们可以看见拓扑和几何的关系。拓扑和几何一样也研究空间图形，但是它不关心“两点间的距离”这类性质，因为把橡皮膜扯一扯，两点的距离就变化了。比如几何学家觉得甜甜圈面和茶杯面还是不一样，甜甜圈的那个环是均匀粗细的，茶杯面的柄却比其他部分细。但是拓扑学觉得这没区别。拓扑学关心的是“连在一起”，“怎么连”的问题。球面上的点之间连在一起比较简单，绕无论哪条封闭曲线剪上一圈就可以把球面剪成两块，但是甜甜圈面上的点却似乎“通过好几个方向”连在一起，一圈可能剪不断。这其实是单连通和多连通的区别。又比如橡皮膜上有一个圆，你再怎么扯，这个圆还是把圆里圆外分成了两部分。圆里面的一点和圆外面的一点，你不可能用一条线把它们连起来却不和圆周相交，无论怎么扯橡皮膜（当然还是老规矩，不能扯破或粘贴，也就是变换要连续），圆被扯成奇形怪状，圆里圆外的两点还是被圆周分开。

一讲拓扑学的历史，往往会把欧拉的哥尼斯堡七桥问题拿出来当它的开创问题之一。我总觉得这个问题的解决和图论比较有关系，和今天的拓扑学关系不大，虽然它的解决也用到了类似拓扑学的思想，比如桥的长度和问题无关。见仁见智吧。

如果大家刚开始学拓扑学，那种拓扑学叫“一般拓扑学”又叫“点集拓扑学”，考虑的拓扑空间非常一般，所以会碰上好多怪异的拓扑空间，什么T0啦T1啦T2啦这些空间，T0空间又叫柯尔莫哥洛夫空间，T2空间又叫豪斯道夫空间，后面还有T3，T4，T5等等，甚至还有T2又1/2空间之类的。

其他数学分支的工具可以用来研究拓扑学。我们可以给拓扑空间加上“微分结构”，这是另一种数学结构，这种结构允许我们在拓扑空间上面做类似微积分的计算，这就是微分拓扑。

而用代数学工具来研究拓扑学的分支叫代数拓扑。

我说过分类问题总是学科中的最重要问题之一。在拓扑学里，这个“之一”大概可以去掉。拓扑学家最关心的，就是“一共有多少种曲线”“一共有多少种曲面”之类的问题，当然茶杯表面和甜甜圈表面只能算同一种曲面，而球面则是另一种。

对于某一大类曲面（按行话说是“无边的，紧的，有向的2维曲面”，具体不解释意义了，其中包含球面和轮胎面），要知道其中两个曲面是不是同一种，我们只要数数它上面有多少个洞就可以了，比如球面没有洞，轮胎面有一个洞，而眼镜架的表面则有两个洞……洞的个数一样，那么它们就同胚，个数不一样，它们就不同胚。于是茶杯面有一个洞，它就和轮胎面同胚。洞的个数行话叫“亏格”，不要问我为什么取这名字，我也不知道。我们看到亏格就是刻画这一大类曲面的工具。不仅如此，亏格完美地在刻画了这个大类的曲面：本来想知道两个曲面是否同胚，我们得按照同胚的定义，找到一个一一对应，证明这个一一对应还保持拓扑结构等，麻烦得要死，现在好了，数数有几个洞，两个曲面同胚当且仅当亏格相等。而亏格是一个整数，在这里，我们看到了一个用整数来刻画某一大类曲面的方法。

在更高维的拓扑空间上，光用数来刻画空间性质就比较不方便了，而代数拓扑就可以用群这样的代数结构为工具，来代替数来刻画拓扑空间的性质，比如上面所说的单连通和多连通的性质，就可以用群来表达出来。我会在有关代数结构的帖子里更具体地讲述一些这方面的内容。

• 数学闲话（闲话开始前的闲话）
• 数学闲话（二）——拓扑(2)流形

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讲了一些群环域这些代数结构的事情了，大家也许会问了，这些东西的用处是什么呢？

一个数学理论，数学家们对它感兴趣，花时间精力（还有金钱，是国家社会等投入进去的）来研究，无非两个原因，一个是有趣，一个是有用。

某个数学对象被创造出来以后，往往就象有了自己的生命力一样，虽说现实世界中并不存在，但是也还是好像就在某处客观存在一样。比方说自然数，谁也没看见过“一”“二”“三”等等，我们看见的总是具体的一个人两个苹果啥的，但是从古希腊那时候，数学家们就对自然数的一些性质感兴趣，比如素数是不是有无穷多个啦，有没有奇完美数啦，到后来又问哥德巴赫猜想是不是成立啦，费尔马大定理对不对啦。许多这类问题就算回答出来了，一时也看不出有什么特别的用处，但是我们还是想知道答案，纯粹是好奇心作崇。群环域这些数学对象一旦被定义出来，也有了自己的生命力。比方说我们发现有有限域这样的东西，就会想到去问“到底有哪些有限域”这样的问题。其他数学结构也一样，象有限单群（元素有限的，不能被分解的群，有点象素数之于整数那样的东西）的分类问题，数学家们花了大约一万页的论文，把这个问题解决了。当然更多的是没有解决的问题。这是有趣，理论本身提出了自己的问题，只因为人类想知道，不为别的，这些问题就值得花钱花时间花精力去研究。当然有趣的东西未必就一定没有用，这两个不是互斥的。“有趣”本身就颇可以是一种用处，满足好奇心的用处。

再来说说有用。所谓有用，就是理论不仅能够处理自己提出的问题，还能对解决其他领域里的问题有帮助。这个其他领域可以是物理，化学，生物，信息科学，经济甚至是语言学等等不是数学的学科，也可以是数学的其他分支。

群环域这些代数结构的应用是非常广泛的，在这里不可能全罗列一遍。这里我具体闲话一下两个方面，只是在其他数学分支中的应用，至于在其他学科中的应用，应该是那些学科中的同学的科普任务，呵呵。

第一个方面，这些数学结构本身就是对数学其他分支中已经存在的一些对象的抽象。

比如说我们观察到从整数集上的加法和乘法可以产生一些有趣的现象，比如有时候一些整数之间可以做除法，有时候不行，从而定义出素数这样的概念来，我们又发现每个整数都可以被唯一分解成一些素数的乘积等等，我们观察到比如实系数的一元多项式集合里也有类似的现象：这些多项式之间可以做加法乘法，有些多项式比如x^2+1不可以再分解成更小的实系数多项式，而有些多项式比如x^3+1可以分解成(x+1)(x^2-x+1)，这种分解也是唯一的。这就启发我们，整数和实系数的一元多项式以及它们上面的加法乘法形成的结构有某些共同点。那么我们就可以试图把这些共同点抽象出来，在这种抽象的理论里，我们证明的定理就既可以在整数集上成立，又可以在实系数的一元多项式集合上成立。

在环论发展的实际历史上，并不是象一些教科书上叙述环理论的次序那样，是有个数学家灵机一动，刷刷刷写出一般的环的定义，然后发展了一大套理论，然后发现这些理论居然很碰巧地在整数集或实系数的一元多项式集合或其他什么集合上成立。不是这样的，历史上这个次序是倒过来的，数学家们首先研究的是一些很特别的环，他们当年刚开始研究的时候甚至还没有“环”这个名词。比如在试图解决费尔马大定理的过程中，受到n=3和4时证法的启示，一些数学家（比如Lamé，Kummer和戴德金等人）考虑了一些特殊的数的集合，这些集合上可以做加法和乘法，和整数集合相似。如果这些集合的性质和整数集一样好，也有类似“整数都可被唯一分解成素数的乘积”这样的唯一分解定理，那么模仿n=3和4的证法，费尔马大定理就得证了。很不幸的是（也许谈不上不幸，要不以后那些围绕着解决费尔马大定理发展出来的有趣理论都要晚见天日了，呵呵），其中一些集合上唯一分解定理并不成立。于是判断在哪些集合上唯一分解定理成立就成了一个重要的任务。在这些研究下，诸如唯一分解整环，戴德金整环（所谓的“整环”，就是其中两个不是零元的元素乘起来不会是零元，我们已经在前面的Z10上见识过这有多重要了）的概念被提出来（当年它们还不叫这些名字）。

“环”这个名字是德国大数学家希尔伯特给取的，英语里叫ring，法语里叫anneau，也就是“环”啊“圈”啊的意思。托尔金的奇幻大作“指环王”，在英文里是Lord of the Rings，如果放数学系图书馆里，插在代数类书架上，咋一瞧也许会被认为是哪位环论大师的传记。从现在的观念看来，当年希尔伯特的那些“环”也是很特别的一类环。如今一般的环的概念，是那二十多年以后才基本固定下来的。

其他的那些数学结构也类似，它们的有用性体现在它们是许多具体的具有运算的数学对象的抽象。对于这些抽象的数学结构的研究，能够使我们把握那些具体的数学对象的共同性质；而对某些具体数学对象研究的方法也可以通过这种抽象，提升到对抽象的数学结构的研究上去，从而使这些方法同样适用于其它具体的数学对象（就好像唯一分解定理原本是对整数才有的概念，提升到唯一分解整环上以后，又发现其他一些具体的数学对象如多项式环也是唯一分解整环，于是整数集上的许多定理就可以搬到多项式环等上去了）。

第二个方面，群环域这些数学结构可以用来作为描述其他数学对象性质的语言。这个话有点玄妙，所以要展开说说。

我们常常见到使用数来描述某些东西性质的做法。比如说，某人身高1.65米体重165斤，某个班级有60个学生等，数学上例子比如说某多项式方程有3个根，等等。这样的描述未必就完整地全面地刻画了这些东西，但是它至少描述了这些东西某方面的特征，让我们知道这些东西的某些信息。通过这些信息，我们足以推断出一些结论，比如那位身高1.65米体重165斤的朋友大概有必要减减肥，那个60个学生的班级的老师大概做不到因材施教，而那个有3个根的多项式方程的次数应该大于等于3等等。

使用数来描述性质，可称“定量”，是理论精密的一种表现。王小波在他的《关于格调》中有高论曰：

在格调问题上我就不发表自己的意见了，尤其是现在反三俗，提高格调又是一件很有必要的事情了。但是这里有一件事情是明白的：作为一种理论，越是能够定量研究的，就越精密，越容易验证和应用，越是只能定性分析的，就越粗糙，越难验证和应用。比如光说“礼重色轻”，就从不了权；得把礼和色量化了，也就是用数字表示出来，才能从权。

拿数字来描述性质已经很精密了。而群环域这些东西，能比用数字定量还要精密地描述一些数学对象的性质。对于某些数学对象，我们能够象说“某人体重多少”这样说“某某的xx群是什么”，这样，xx群就成为描述某某这个数学对象的性质的一种方式，正如数字能够描述某人的体重一般。

接下去我们稍微具体地看看两个例子：伽罗华理论和庞加莱猜想，在这两个数学问题上，群论就起了刻画它们所研究的数学对象的工具。

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