主题：专家利用本福特定律推断伊朗选举合法的概率为0.05% -- meokey
家园 专家利用本福特定律推断伊朗选举合法的概率为0.05% 选举舞弊研究专家Walter Melban前不久发布了2009年伊朗总统选举结果的分析报告，认为虽然没有充足证据，但有明显迹象指示存在舞弊。6月20日的《华盛顿邮报》发表了另一篇统计分析报告，作者使用本福特定律统计具体的投票数目，分析结果是选举合法的概率为0.05%。 本福特定律认为自然数0到9的使用概率是呈现从高到低分别，排在前面的使用频率最高，排在后面的使用频率越低。如果选举是合法的，没有人为操控，那么投票数字应该呈现出本福特分布。假如伊朗的某位候选人在一个省获得了14579张选票（迈赫迪卡鲁比在伊斯法罕所获得票数），那么7和9这两个数字便值得关注。两位作者使用伊朗官方提供的29个省的投票统计数据，分析了内贾德、穆萨维、卡鲁比和雷扎伊各自获得的票数，发现数字7出现的频率占到了17%，数字5只有4%，0、1、2占大约10%。作者对比了去年美国大选奥巴马和麦凯恩的的票数，发现后面的数字出现频率都低于14%。研究人员还根据了另一项理论进行分析：心理学家发现人习惯于写出相邻的数字，不习惯写出不相邻的数字，伊朗大选数字显示不相邻的数字所占比率仅为62%。综上所述，他们认为选举合法的概率只有0.05%。基本看懂了，但还是希望有大牛深入介绍一下这个神奇的定律及其应用。
家园 不是大牛，探讨一下这个有趣定律 这个定律可以这么直观地理解:
首先，这个自然世界的“测量值的对数”被发现是近似均匀分布的。楼下有用书的页码分布举例的，其实不太合适，因为书的页码不是自然现象，而是人造的均匀序列。比如说大学新生的身高值，显然不是从一米到两米均匀分布的，但是身高值的对数，却是近似均匀分布的。
在这个基础上就好理解了，测量值的打头的那个数字是对测量值最有代表性的，所以它的对数是近似均匀的，再看看对数坐标纸，比如这个，
外链图片需谨慎，可能会被源头改最宽的那些个区间代表１打头的数字，这个区间占据整个空间的大约三分之一，这就是对十进制数字的情况。
家园 糟蹋数学啊 家园 数学真神奇——指数定律解释暴动 又有了一个数学的社会学应用的例子了
After creating 10,000 virtual wars with the model, the researchers found the same patterns as in the nine real insurgencies. "There is a generic way in which humans 'do' insurgency and terrorism," the researchers conclude in the 17 December issue of Nature.
外链图片需谨慎，可能会被源头改家园 这里说的“概率”应该是p-value吧 p-value跟概率是两回事。用假设检验来计算p-value比较容易，但要计算具体的概率，还需要知道是否存在舞弊的先验概率，这个值是很难得到的。详细的解释可参阅之前某位朋友发的关于Bayesian定理的帖子。
家园 这就是 p-value 的一种通俗解释吧
家园 【资料】补充一下原始资料和其他资料。 一个博客，作者的推论是选举没有舞弊：http://www.jgc.org/blog/2009/06/benfords-law-and-iranian-election.html
arXiv上的原始学术论文：Benford's Law anomalies in the 2009 Iranian presidential election
家园 这里面有个问题 做N个测试, 然后挑其中最反常的一个, 这时候的统计显著不等于通常意义的统计显著, 0.05的cut-off也不意味着0.05, 而是高得多或者说不显著得多.
所以我对楼主提到的那篇报告, 以及这篇arxiv上的论文都有这方面的怀疑.
不知道厚积怎么看?
家园 舞弊研究者舞弊更容易呀 本福特定律 数字统计的一种内在规律，指所有自然随机变量，只要样本空间足够大，每一样本首位数字为1至9各数字的概率在一定范围内具有稳定性。科学家们还是发现一些奇特现象。比如当对数据库中的第二重要数字进行调查时，该定律仍然发挥着作用，但是第二重要数字的重要性却降低。同样，第三和第四重要数字所展现出来的特征就开始变得相同起来，第五重要数字的频率为10%，刚好是平均数。
到这位专家这里：
假如伊朗的某位候选人在一个省获得了14579张选票（迈赫迪卡鲁比在伊斯法罕所获得票数），那么7和9这两个数字便值得关注。反忽悠的弦看来一刻也不能放松呀
家园 “首位数字”这个条件是关键性的 我觉得这个定律定性的解释还是容易的，定量的解释就要困难了。
举个例子，如果我们有若干本书，每本书的页数都是随机的，每本书的页数都是从1开始标号。如果我们以等概率选择所有页，那么显然选择到号码的第一位数字比较小的页数的可能性比较大。
比如一本书有399页，那么它有1+10+100页的首位数字是1，2，3，而只有1+10页的首位数字为4，5，6，7，8，9。无论哪本书中，首位数字是1的页数总是要大于等于首位数字是2的页数，首位数字是2的页数总是要大于等于首位数字是3的页数……
末位数字可就没有这么好的性质了。
家园 还是天朝威武啊 调查问卷主要在洛阳洛龙区和新安县进行，问卷共发放100份，有效回收100份。调查显示，在对运动项目的兴趣方面，跑步、羽毛球、篮球、乒乓球很受学生青睐，其比例分别是58.17%、58%、45.69%、42.18%，而选择足球的仅有15.29%，选择其他的有13.18%。在调查长跑活动给学生带来的好处时，92.79%的学生认为强健了自己的身体，79.44%的学生认为磨炼了自己的意志力，认为能缓解压力和促进学习进步的学生分别有60.46%和49.38%。
