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主题：【原创】勾股定理（十）--- 坐标（续） -- 我爱莫扎特
家园 【原创】勾股定理（十）--- 坐标（续） 现在，让我们来看看微分几何中的坐标。
高斯在进行大地测量的时候，每天同各种各样奇形怪状的地形打交道，有必要建立一套方便准确的计算体系。当然，经典的笛卡尔坐标是可以用的，但有明显的缺点。地球上的地形，不管如何复杂，都是二维的图形，数学上叫“二维曲面”。二维笛卡尔坐标适用于欧式平面，而欧式平面特点是它是“平”的，是最理想的状况，用来对付“曲面”完全不合适。如果要用笛卡尔坐标，也必须是三维的。可这样一来，计算量大大增加。所谓杀鸡用牛刀，不仅仅是大材小用，用起来也颇不顺手。那有没有办法发明一套二维的但适用于曲面的坐标系统？
既然是微分几何，那我们在回答上面的问题前，先回顾一下微分的思想。
所谓微积分，通俗来讲，和做扬州狮子头差不多。微分是把一整块肉剁成肉馅儿，而积分是把肉馅儿再揉起来。至于微积分的基本定理---牛顿莱布尼茨公式说的是：剁碎再揉起来的肉圆儿和原来的猪肉一样重。当然，要是微积分真的和做肉丸子差不多容易，不光牛顿莱布尼茨不答应，估计曹冲小朋友也不会答应。咱们还得多说几句。
微分的本质，是局部线性化。具体来说，我们要细致的研究一个函数，需要先固定一个点，看看这个点附近（即局部）的函数性质如何。在这个点的附近的函数，虽然已经比原先的函数简化不少，但还是有各种不同的形状。怎么办呢？牛莱二位伟人大手一挥：“俺们直肠子，不爱那些弯弯绕绕的，这些统统当直线处理。”于是，这个点附近的函数被简化为函数在该点的切线（也就是所谓的线性化）。下图中直线高出的部分dy就是微分，而这条直线的斜率叫做“导数”。
外链图片需谨慎，可能会被源头改就这么简单。但这段描述中至少包含三个重要的数学思想：
1，线性（linear）。
我们说一个函数f(x)是线性的，当它对任意实数a,b满足：f(ax+by)=a*f(x)+b*f(y)。
线性函数是最最简单的函数，比如一维的线性函数就是直线，而高维线性函数相当于矩阵。几何上，欧式空间就是线性空间。微积分中，不仅微分是线性的，积分也可以看作是从函数到实数的一个线性映射（即线性泛函）。人们对于线性已经有了非常深入透彻的理解，甚至可以略微夸张的说，到今天为止的大部分数学多多少少都是线性数学。如果一个问题能转化为线性问题，就能被搞定。而无法转化为线性的问题（所谓非线性问题），到今天人们也没什么特别好的办法。所以线性化常常是必须的手段，而困难之处在于怎样线性化又不丢失过多的信息。
2，局部（local）。
大自然是复杂的，为了了解自然，不仅要有宏观的把握，还要有微观的细致分析。微积分之前的数学（和自然科学），很少研究局部的性质。不是人们不想研究，而是缺乏数学工具。为此，人们只能采取掩耳盗铃的态度，大而化之的研究“理想”的事物。比如欧式平面就是理想化的大地。
微积分的诞生才使得人们有能力对事物进行局部的分析，所以微积分又被称为“数学分析”。此后的数学，尤其是近百年的数学，处处可看到“局部”的思想。很多数学对象，整体来看相当复杂，从局部入手就会清楚很多。而一些有趣的数学概念，可以先定义在局部对象上，再想办法拼接成更大更复杂的数学对象。不仅仅是几何，数学各个分支随处可见局部的概念。拓扑中有“局部紧”，泛函分析中有“局部凸”，抽象代数中有“局部域”，代数几何中有“局部戴德金环”，概率论中有“局部鞅”，等等。以后有机会我们还会谈到。
3，近似（approximate）。
数学上的近似，常常是用简单的数学对象去代替复杂的数学对象，而后再无穷逼近原来的对象。微积分中的极限概念，收敛概念是用作逼近的最好工具。
近似可以有不同的程度，如上面提到的微分是一阶近似，还可以接着做二阶近似，三阶近似等等，得到的近似函数不再是线性函数，而是多项式。而用来近似的函数也可以不是多项式。比如法国数学家傅立叶（Fourier）为了研究周期函数，就用三角函数来代替线性函数和多项式，得出了著名的傅立叶级数。
外链图片需谨慎，可能会被源头改动画演示傅立叶级数，用三角函数逼近周期函数如果理解了这三点，微分的思想就很清楚了。值得注意的是，也有处处连续但处处不能做微分的函数，也就是那些局部上非常复杂不能简化为直线的函数。十九世纪末的时候，人们花了很大的力气才找到这样的变态函数，可是后来的数学发展却让人们意识到这些函数虽然变态，却数量庞大，而且非常非常重要。一个典型的例子就是我们熟知的分形。
外链图片需谨慎，可能会被源头改令人着迷的分形分形的一个特点，是它的局部放大后和原来图形相似，当然无法局部线性化了。作为一种特殊的分形，布朗运动（Brownian Motion）被数学家（概率学家），物理学家，化学家，金融工作者等各界人士热情追捧，红了差不多一个世纪。
外链图片需谨慎，可能会被源头改几何布朗运动，常常被人们用来模拟股票价格的走势书归正传，回到几何上来。如果我们真正理解上面说的微分的思想，就很容易回答最初提出的问题。地球，尽管它的表面山川河流此起彼伏，但局部来看，确实可以看作是一块一块的“平面”拼接而成。事实上，欧式平面的最初诞生，也恰恰是因为人们普遍认为大地是平坦的。于是，尽管现在高斯面对的是复杂的曲面，却总可以把曲面上每个点的附近（局部）近似的看成是欧式平面。（注）如同笛卡尔坐标系那样的整体的坐标不再存在，取而代之的是每个点所在的“近似欧式平面”都有一个自己的局部坐标系。
外链图片需谨慎，可能会被源头改纵横交错的网络线将曲面包络起来具体来说，高斯用两组纵横交错的网络线（分别记作u和v）将曲面包络起来。每个点恰好有一条u线和一条v线经过，在这点上u和v所指的方向就是该点附近的“欧式平面”的坐标轴方向。需要指出的是，u和v常常不垂直，但这并不太重要。
外链图片需谨慎，可能会被源头改每点的附近有自己的坐标系与笛卡尔坐标系不同的是，高斯局部坐标系中的u，v方向一直在随着点的不同而变化。这有点像在北京和上海问路。在北京，问路的回答常常是“向北走，过两个街口往东拐”，这是典型的笛卡尔坐标系，因为北京的路整齐划一，如同棋盘。而在上海，回答变成“向前走，往左转，过两条马路再向右转”，这就是局部坐标系，原因么，见识过上海的道路就明白了。
如果说笛卡尔式的整体坐标系和物理中的惯性系有内在联系的话，高斯坐标系的“每个点有自己的坐标系”的想法已经隐隐显现出后世爱因斯坦的“每个事件有自己的时钟”的影子。这绝非偶然，我们在后面的叙述中会越来越清楚这一点。
注：
把曲面上每个点的附近（局部）近似的看成是欧式平面。这句话相当于是二维的局部线性化，因为欧式平面是二维线性空间。不过二维的情况略微复杂些，这句话可以有两种不太一样的理解，每种理解都对应着一个微分几何学的重要概念，以后会提到。元宝推荐：爱莲, 通宝推：karman,
本帖一共被 4 帖 引用 (帖内工具实现)家园 晚看了好些年，过去一直都以为傅立叶这样的人是变态 家园 真可以说是深入浅出的代表文了 虽然学数学的人在理解后也能想明白这些概念的含义，但是要像老兄这样简短干脆的类比出来，就不是人人能做到的了。其实很多概念，要是有老兄这样的文字来点拨，我想会省初学者的很大力气的。
家园 老师当年上课能如此解释下这些数学概念就好了 记得一年考试，要背诵傅立叶函数，非常郁闷。死记硬背非常无趣。高等数学学习动力不足，也是在于不明白所学所用之意义。
现在经莫扎特兄点播，顿有豁然开朗之感。数学之美，本该如此。决心重读一遍以前的数学教程。
多谢并送花一朵。
家园 ee的， 本科时候天天念叨这辈子就被傅里叶和拉普拉斯毁了
家园 学习是循序渐进的 要是有老师能讲讲这些东西，对学生肯定很有帮助的，不过这也不能绝对化。
我遇见过一个数学老师，他说：“数学是教不会的，但学得会”。意思是说，数学只有自己想通，领悟了，才真正算会，光听老师讲几遍也没用。
这个我自己有体会。比如我文中讲到微分和傅立叶级数，写得轻描淡写，那是因为我学过几遍，而且见过更深入的东西，明白它们的实质。如果一个刚刚学微积分的学生看到我这些，可能觉得蛮有道理，但还是没啥用，记不住的。
我经常和比我水平高的师兄，老师聊天，听的时候觉得非常有道理，很精辟，回家忘了一大半。基本上，人只能记住自己能理解的东西，或者比自己水平高一点点的东西，再多就不行了。（参见《倚天屠龙记》觉远大和尚圆寂之前的夜晚发生的故事）
华老讲过：“书要从薄念到厚，再从厚念到薄”，这个循序渐进的过程，每个人必须经过，省力不了。要不然，直接把最后的“薄”书灌输进去不就得了？
不过俺的帖子能给老兄带来灵感，小弟还是很欣慰的。
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家园 不错不错 很清晰很形象
家园 靠，原来这就是分形 数学系的老兄老拿这个吓唬俺
家园 我爱高斯兄 问个白痴问题。这个微分几何听说很威风，和我们初中学的解析几何有渊源吗？
家园 这个关于问路的比喻很形象啊，花 家园 的确，而且还是局域的 在北京，问路的回答常常是“向北走，过两个街口往东拐”，这是典型的笛卡尔坐标系，因为北京的路整齐划一，如同棋盘。更加典型的例子是Manhattan,东西向是street,南北向Ave，20个block一英里。给出一个地址基本上可以估出在哪个street和ave的交界附近。到底是移民城市，极其适合初来乍到的人，连英文都不用。在Manhattan岛上一般不需要指南针，所以2001年WTC倒掉以后New Yorker们尤其感伤的是，以前他们只要走出地铁口的时候抬头找找WTC双子楼（立在岛的最下端），就知道那边是南了。现在，找不着南乐。
家园 处处连续但处处不能做微分的函数? 这样的函数，多元里不是一大把？
而且，就一元微分来说，很多分段函数就不行啊。
为什么称之为变态呢？