主题：【原创】闲谈科学之正多面体 -- 安德的游戏

现在先来补一下五种正多面体的证明。不喜欢数学的可以跳过前面有公式的段落，从后面接着看。

首先呢，要告诉大家一个伟大的公式，叫做欧拉公式。如果一个简单多面体，面数，棱数和顶点数分别记成F，E和V，那么就有V+F-E=2。让我们拿立方体来验证一下，V=8，F=6，E=12，正好8+6-12=2。这个公式是怎么得到的呢？我不太会画图，所以图就省略了，咱们干说。有空间想象能力缺陷的人就先跳过去吧。

我们先说什么叫简单多面体。所谓的简单多面体，就是说如果这个多面体的各个面都是橡皮做的，可以任意延展，那么把它吹鼓，如果变成球的，就都是简单多面体。如果吹成个轮胎，或者其他奇怪的形状的，就不是了。于是，所有的简单多面体就有了一个性质：如果去掉一个面，那么把剩余的部分延展开，都可以贴到一个平面上。这个贴到平面上的东西，棱数和顶点数都不变，只是面数比原来的多面体少了1。我们现在计算这个图形的V+F-E。对于每一个面，如果不是三角形的，就从任意两个不相邻的顶点连一条线，这样，多出来一条棱和一个面，V+F-E不变，这样一直切割到所有的面都是三角形为止。对于只有一条边在最外侧的三角形来说，去掉这一条边，相当于减少一条棱和一个面，这样V+F-E不变。对于有两条边在最外侧的三角形来说，去掉这两条边相当于去掉两条棱，一个面和一个顶点，这样V+F-E也不变。这样一直去到只剩一个三角形为止。这时候又三条棱，三个顶点和一个面，V+F-E=3+1-3=1，所以最初的图形也满足V+F-E=1。再算上一开始去掉的面，那么多面体就满足V+F-E=2。

好，现在我们从欧拉公式出发。如果每一面是正m边形，那么F个面就有mF个边，因为每两条边合成一条棱，所以E=mF/2，而F个面共有mF个顶点，如果每个顶点有n个面或者n条棱，那么就有V=mF/n。带入欧拉公式，有mF/n+F-mF/2=2，或者F=4n/[4-(m-2)(n-2)]。因为要满足F>0（正多面体总不能没有面吧），还要满足m>2（费话，正两边形谁见过）和n>2（这也是费话，两个面合在一起的那叫棱，不叫顶点），所以正整数解就只有以下几种组合：

(m,n)={(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)}，相应带入得到的F也就只有4，8，20，6和12。

有趣的是，m和n的值互换以后，得到多面体的顶点数和面数也互换，而棱数保持不变，这样的一对多面体叫对偶多面体。这六面体和正八面体是对偶多面体，正十二面体和正二十面体是对偶多面体，而正四面体由于m=n，所以对偶多面体是自己。

好了，这个证明是够让人发晕的。其实呢，简单想一想也能推出来，只是不那么严格。只要会拼地砖的就能理解。

我们先从一个面的可能组合说起。直观地看，边数越多，正多边形的顶角越大。拼一个角至少要三块砖，两块的那不叫角，那叫缝。大于六边形的，每个角大于120度，所以不可能严密地拼合。那个说能用八角形拼的，上次装修完了有人投诉厕所漏水，是不是你干的？这个月工资没了。所以能用地正多边形也就三角，正方，正五边形和正六边形。再接着说，如果拼出来各角和正好是360度，就拼成了一个平面，一直拼下去，就会无限延展出去，变成一个无限平面，不是一个闭合的多面体了。那儿有人插嘴，说复平面在无穷远外交于一点，是一个无穷大的球，也是闭合的。对了，还有一个叫夏翁的，说

好啦，所以用三角形拼，每个顶点最少拼三块，最多拼五块。用正方形拼，只能拼三块。用正五边形拼，也只能拼三块。正六边形就不能拼了。这样算起来，正好是五种。怎么样，这么说够直观了吧？