主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经

五。压单还是压双？

如果是随机地扔一个骰子，相信所有的人都会同意，出现单与双的概率是一样

的。但实际的赌博业务往往赌的是足球比赛的进球数是单还是双，或者篮球比

赛的比分和是单还是双。

例如香港赛马会每周都对很多足球比赛开出单双的赔率，一般是（1.9，1.8）

或者（1.85，1.85）这两种赔率组合，从来不会出现（1.85，1.9）这种赔率

组合。这个赔率的意思是你押100元1.9赔率中了就收获190元。我们很容易知

道赛马会给出这种赔率组合是稳赚的，公平的赔率组合是（2，2）。但为什么

马会给“单”设的赔率总是大于或者等于“双”的赔率？一种可能是赛马会的

人就喜欢这么干，没什么特别的考虑。但是不是有什么数学因素在里面？

再例如中国篮球彩票，让人猜四节比赛的比分和的单双，共16总可能，四节全

中了，就赢了。那么，是不是16种选择是等概率的？会不会和扔骰子有微小的

不同？这里不考虑打假球的因素。

我们先来考虑足球。足球比赛一开始的比分就是0比0，天然是个双数。足球比

赛进球不象篮球那么容易，会不会双数比单数有一点优势？这我们要建立模型

分析一下了。

假设A队和B队打，两队都以防守稳著称，象切尔西连续6场没丢球，AC米兰也

曾经连续多场没丢球。那么这种情况下，0:0这个比分是会不会占优势？例如

切尔西对阵AC米兰，打一百场，多方的进球总数可能是各40个。如果我们准备

100个框子，把80个球往里面随机地扔，可以一个框子占多球，那么每场比赛

的单双概率会是如何？当然这未必与实际比赛的进球分布相同，只是先这么

看看结果如何。

也就是说，来一个简单数学模型，有m场比赛，总进球数是n个，每个进球等概

率地发生在这m场比赛中的任一场。求单场比赛总进球数是单双的概率大小，

分别记为D(m,n)与S(m,n)。

我们可以确信的是，如果n=0，那么D(m,0)=0，S(m,0)=1，每场比赛都是双。

如果n=1，那么只有一场比赛为单，m-1场为双，D(m,1)=1/m。如果n=2，计算

就要复杂些了，如果是两场1:0，则单的概率为2/m，如果是一场1:1，则单的

概率为0。两个进球出现在一场比赛的机会是1/m。所以，单的概率是：

2/m * (m-1)/m = 2(m-1)/m^2。

建立一个递推公式：(m,n+1)的情况相当于(m,n)的情况再多来一个球。

(m,n)的情况中，D(m,n)*m场是单数，S(m,n)*m场是双数。这个球来到单数场

的机会是D(m,n)。到了单数场中，则单数场加一双数场减一，即单数场变为

D(m,n)*m - 1。另一种情况是以(1-D(m,n))的机会到了双数场，则单数场变

为D(m,n)*m+1。我们可以据此得到：

D(m,n+1) = D(m,n) * ( D(m,n) * m - 1 ) / m + (1 - D(m,n)) * ( D(m,n) * m + 1)/m

= (1 - 2 * d(m,n))/m + d(m,n)

验算n=0与1的情况都是正确的。

那么我们可以考察D(m,n)随着n的变化情况。让我们重新整理一下：

D(m,0) = 0,

D(m,n+1) = ( 1 - 2 * d(m,n) ) / m + d(m,n)

这种情况想快速得到一些值不要去死推公式，拿个Excel整几个格子很快就出

结果了。

下表是m(10,n)的情况，n从0增长到25.

n m(10, n)

0 0

1 0.1

2 0.18

3 0.244

4 0.2952

5 0.33616

6 0.368928

7 0.3951424

8 0.41611392

9 0.432891136

10 0.446312909

11 0.457050327

12 0.465640262

13 0.472512209

14 0.478009767

15 0.482407814

16 0.485926251

17 0.488741001

18 0.490992801

19 0.492794241

20 0.494235392

21 0.495388314

22 0.496310651

23 0.497048521

24 0.497638817

25 0.498111053

我们可以确信，m(10,n)是无限逼近0.5的，但总是小于0.5。

我们不难看到，单数的确是不如双数机会大的。即使进球数

多到篮球，也是双数占优。所以篮球彩票该填全双。