主题：【文摘】费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜 1 -- beyourself

（三）

　　《费马大定理》既是一部惊险小说，也是一部武侠小说，激荡着绝顶高手传诵千古的传奇故事。

　　那个数学世界里的江湖是属于年轻人的。少年英雄在这里尽情挥洒他们的天纵其才，库特·哥德尔提出他的不可判定性定理时，年仅25岁；挪威的阿贝尔在19岁时做出了他对数学的最伟大的贡献，8年后在贫困交加中去世，法国数学家埃米尔特评价“他留下的思想可供数学家们工作500年”；相较而言，安德鲁·怀尔斯40岁开始研究费马大定理，别人认为他应该是才思枯竭的岁数了。

　　“年轻人应该证明定理，而老年人则应该写书。”英国数学家哈代说，“数学较之别的艺术或科学，更是年轻人的游戏。”还有哪片领土更适合年轻人来谱写传奇？在英国皇家学会会员中，数学家的平均当选年龄是最低的。

　　围绕着费马大定理发生的故事，更是超出了最优秀编剧的想像。寻求费马大定理的证明牵动了这个星球上最有才智的人们，巨额的赏格，自杀性的绝望，黎明前的决斗。

　　1954年1月，东京大学的年轻数学家志村五郎去系图书馆借一本书，令他吃惊的是，那本书被一个叫谷山丰的人借走了。志村给这位并不熟悉的校友写了封信，几天后，他收到对方的明信片，谷山告诉他，他是在进行同一个计算，并在同一处被卡住了。

　　一种惊喜的默契顿时产生，两人开始了惺惺相惜的合作。“他天生就有一种犯许多错误，尤其是朝正确的方向犯错误的特殊本领。”志村评价他的拍档。1958年11月17日，这个心不在焉的天才人物、刚刚订婚的谷山选择了自杀。几个星期后，他的未婚妻也结束了自己的生命，遗书中写道：“既然他去了，我也必须和他在一起。”

　　谷山在遗书中为他的自杀行为引起的种种麻烦向他的同事们表示歉意，而他遗留下的对数学的许多根本性想法，成为解开费马大定理的唯一一把钥匙：谷山－志村猜想。30年后，他的伙伴志村目睹了他们的猜想被证实，用克制和自尊的平静对记者说：“我对你们说过这是对的。”　　他依然保存着谷山第一次寄给他的那张明信片。

　　德国实业家沃尔夫斯凯尔并不是一个有天赋的数学家，但一桩最不可思议的事件将他与费马大定理永远联系在一起。

　　对一位漂亮女性的迷恋及被拒绝，令沃尔夫斯凯尔备感绝望。他决定自杀，并定下了自杀的日子，准备在午夜钟声响起时开枪射击自己的头部。沃尔夫斯凯尔认真地做着每一个细节：处理好商业事务、写下遗嘱，并给所有的亲朋好友写了信。

　　他的高效率使得所有的事情略早于午夜的时限就办完了。为了消磨最后的几个小时，他到图书室翻阅数学书籍：一篇关于费马大定理证明的论文……他不知不觉拿起了笔，一行一行进行计算……

　　然后，天亮了。

　　沃尔夫斯凯尔为自己发现并改正了论文中的一个漏洞感到无比骄傲，原来的绝望和悲伤消失了，数学将他从死神身边唤回。

　　1908年，得享天年的沃尔夫斯凯尔写下了他新的遗嘱：他财产中的一大部分作为一个奖，规定奖给任何能证明费马大定理的人，奖金是10万马克，按现在的币值超过100万英镑。

　　这是他对那个挽救过其生命的盖世难题的报恩方式。

　　1832年，法国数学家伽罗瓦陷入一桩风流韵事中。与他相好的一个女人事实上已经订婚，那名绅士发现了未婚妻的不忠，非常愤怒地向伽罗瓦提出决斗。

　　对方是法国一名最好的枪手，而伽罗瓦非常清楚自己的实力：遑论开枪，就连数学演算他都是只在头脑里进行，而不屑于在纸上把论证写清楚，为此他的许多数学成果都得不到法国科学院的重视与承认。决斗的前一晚，他相信这是自己的最后一晚，也是把他的思想写在纸上的最后机会。

　　他通宵达旦，写出了存在自己头脑里的所有定理，在复杂的代数式中，那个女人的名字不时隐藏其间，还有绝望的感叹－－“我没有时间了，我没有时间了！”

　　第二天，1832年5月30日，伽罗瓦死于决斗。

　　等他潦草的手稿被递至欧洲一些接触的数学家手里，那些演算中迸发出的天才思想使专家们发现：一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学只有5年。

　　伽罗瓦在手稿中对五次方程的解法进行了完整透彻的叙述，而他演算的核心部分则是称为“群论”的思想，他将这种思想发展成一种能攻克以前无法解决的问题的有力工具。

　　伽罗瓦生命中最后一夜的工作，一个半世纪后成为安德鲁·怀尔斯证明谷山－志村猜想的基础。

　　1997年6月27日，符合沃尔夫斯凯尔委员会的规定战胜费马挑战的安德鲁·怀尔斯收到了价值5万美元的沃尔夫斯凯尔奖金。

　　是的，费马大定理被正式解决了。怀尔斯汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。

　　人们又重新掂量起费马写下的那一行附加评注：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”可以确定的是，几个世纪以前，费马没有发明出安德鲁·怀尔斯证明大定理所用的模形式、谷山－志村猜想、伽罗瓦群论和科利瓦金－弗莱切方法。

　　那么，费马本人是用什么方法证明他所提出的猜想的呢？只是一个有缺陷的证明，还是他以17世纪的技巧为基础，涉及到的却是其后几百年所有数学家都没有发现的另一种方法？我们永远也没机会知道了。

　　“那段特殊的漫长的探索现在结束了，我的心灵归于平静。”安德鲁·怀尔斯说。

　　传奇似乎已经落幕，而事实上更大的传奇却被永远隐藏在358年以前。

（四）

　　公元前212年，罗马军队入侵叙拉古，将近80岁的阿基米德正在全神贯注地研究沙堆中的一个几何图形，疏忽了回答一个罗马士兵的问话，结果被长矛戳死。

　　18世纪的巴黎女孩索非·热尔曼在一本叫《数学的历史》的书中看到这一章，便得出这样的结论：如果一个人会如此痴迷于一个导致他死亡的几何问题，那么数学必定是世界上最迷人的学科了。

　　她马上对这最迷人的学科着了迷，经常工作到深夜，研究欧拉和牛顿的著作。

父母没收了她的蜡烛和衣服，搬走所有可以取暖的东西，以阻止她继续学习。她用偷藏的蜡烛并用床单包裹着自己继续学习，即使墨水已经在墨瓶中冻僵。最后她的父母妥协。

　　在那个充满偏见和大男子主义的时代，她冒名“勒布朗先生”，通过书信在只接受男性的巴黎综合工科学院学院学习，并以这个身份与“数学家之王”高斯通信探讨费马大定理。1806年，拿破仑入侵普鲁士，热尔曼拜托一位法国将军保证高斯的安全。得到特殊照顾的高斯这才知道她的真实身份，否则，她对费马大定理的杰出贡献恐怕就被永远记在那个“勒布朗先生”的头上了。

　　高斯在致谢信中谈到数学的魔力：“还没有任何东西能以如此令人喜欢和毫不含糊的方式向我证明，这门为我的生活增添了无比欢乐的科学所具有的吸引力决不是虚构的。”

　　他的表述太过冗长了。还是让热尔曼的同类来回答这个问题吧－－当有人问公元4世纪时的女性数学家希帕蒂娅为什么一直不结婚时，她说，她已经和真理结了婚。

　　就像两千年间涌现出的大多数女数学家一样，索非·热尔曼终生未婚。

　　凡物皆数，这就是数学的魔力。

　　数字会奇妙地出现在各种各样的自然现象中。综观世界上所有曲曲弯弯的河流，剑桥大学的地球科学家汉斯·亨利克发现，从河源头到河入海口之间，实际长度与直线距离之比，基本接近于圆周率的值。爱因斯坦提出，这个数字的出现是有序与紊乱相争的结果。

　　事实上早在公元前6世纪，毕达哥拉斯就发现了数与自然之间的关系。他认识到自然现象是由规律支配的，这些规律可以用数学方程来描述。比如，他在铁匠铺里发现了音乐和声与数的调和之间的关系：那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数学关系，它们的质量彼此之间成简单比，或者说简分数，像二分之一、三分之一、四分之一。

　　在昆虫中，蝉的生命周期是最长的，17年。这个素数年数有没有特殊的意义？

按照生物学家的解释，这个为素数的生命周期保护了它。只有两种寄生物可以威胁到它：1年期或17年期。而寄生物不可能活着接连出现17年，因为在前16次出现时没有蝉供它们寄生。于是，生命周期为素数有着某种进化论意义上的优势。事实也证明了这一点：蝉的寄生物从未被发现。

数字本身的神秘，更是扣人心弦。完满数意即一个数的因数之和恰好等于其本身的数，比如6的因数为1、2、3，后者相加正好是6，所以是完满数。这个概念已经提出将近三千年了，而数学家们发现的完满数才30个，而可爱的老6，就是最小的那个。圣奥古斯丁说：“6是一个数，因其自身而完满，并非因上帝在6天中创造了万物；倒过来说才是真实的：上帝在6天中创造万物是因为这个数是完满的。”

　　再比如26，费马注意到它被夹在一个平方数（25是5的平方）和一个立方数（27是3的立方）之间。他寻求其他这样的数都没有成功，那么26是不是唯一的？迄今没有人能够拿出证明。

　　说一不二，是数学的另一个魔力。

　　在数学王国，不存在公说公有理，婆说婆有理，不存在正方反方的辩论赛，参赛者抓阄决定自己的立场，最后获胜的居然是口才好的人。

　　在数学词典中，数学证明是一个有力而严格的概念，它高于物理学家或化学学家所理解的科学证明。科学证明靠的是观察和理解力，按照评判系统来运转，如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”，那么这个理论就被认为是对的。而数学并不依赖于容易出错的实验的证据，它立足于不会出错的逻辑，推导出无可怀疑的正确并且永远不会引起争议的结论。

　　科学仅仅提供近似于真理的概念，而数学，本身就是真理。数学赋予科学一个严密的开端，在这个绝对不会出错的基础上，科学家再添加上不精确的测量和有缺陷的观察。

　　于是我们就能理解数学家们的残酷，依靠计算机的帮助，有人能断定费马大定理对直到400万为止的幂都是对的，但该命题依然不算被证明。

　　在这方面不是没有反例。31、331、3331、33331、333331、3333331、33333331，经过仔细的探究，数学家们证明了这些数都是素数，那么是不是这种形式的数都是素数呢？下一个数333333331就不是，它可以被分解为17乘以19607843。

　　费马大定理之后，欧拉也提出过一个猜想，即不可能将一个高于2次的幂写成三个同样次幂的和。二百多年来没有人能证明这一猜想，后来用计算机细查，仍未找到解，没有反例是这个猜想成立的有力证据，但谨慎的数学家是不会因此而承认欧拉猜想的。果然，1988年，哈佛大学的内奥姆发现了一个解：2682440的4次幂加15365639的4次幂加18796760的4次幂，等于20615673的4次幂。

　　依靠一块块绝对可靠的公理定理，数学家构筑出坚固的数学大厦，每一块基石都是可靠的，整栋大厦是人类智慧家园里最可信任的一幢。

　　这是数学的荣耀。

　　数学的魅力，在乎对人类智力和好奇心的挑战。

　　面对费马大定理，数学家们经受了三个多世纪的壮烈失败，任何卷入其中的数学家都冒着白白浪费生命的风险。他们为什么还要这样前赴后继？

　　如果能够证明大定理，那么就是解决了其他同行几百年来都深受困扰的难题，在其他人失败过的地方取得了成功。除了这种胜人一筹的成就感，就是人类与生俱来的难以克制的好奇心。解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，而回报则是因解决难题而获得的单纯而巨大的满足感。数学家蒂奇马什说过：“弄清楚圆周率是无理数这件事可能是根本没有实际用处的，但是如果我们能够弄清楚，那么肯定就不能容忍自己不去设法把它弄清楚。”

　　数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。有个学生问欧几里得他正在学习的数学有什么用处，欧几里得转身让奴仆将其逐走：“给这个孩子一个硬币，因为他想在学习中获得实利。”哈代在《一个数学家的自白》中坦言：“从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。”

　　当安德鲁·怀尔斯知道自己将要付出十年心血并且破解费马大定理的机会并不大时，他依然开始了孜孜演算：“即使它们并未解决整个问题，它们也会是有价值的数学。我不认为我在浪费自己的时间。”

　　数学是最大的浪漫。

　　发展到现在，数学已经成为世界上最孤独的科学。致力于尖端问题研究的数学家，如果试图找到与其对话的人，遍寻全世界，都可能仅以个位数计。

　　需要解决的数学问题离普通人越来越远，而数学作为智慧体操，也在我们的头脑中越来越疏于练习。

　　让我们来操练一下，体验那种久违的解题的快感吧。

　　将国际象棋棋盘两个对角的白格方块拿掉，只剩下62个黑白相间的方块。现在我们取31张多米诺骨牌，每张骨牌正好可以覆盖2个方块。能否用这31张骨牌摆放得覆盖住棋盘上的62个方块？

　　有的人已经开始一次又一次的摆放了。让我们动用脑子，看看这个问题有没有答案－－

　　一，棋盘上被去掉的方块都是白色的，那么剩下的方块是32个黑方块和30个白方块。

　　二，每个骨牌能够覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色总是一黑一白。

　　三，所以，无论如何摆放骨牌，都可以用30张骨牌覆盖住30个白方块和30个黑方块。

　　四，结果，总是留下1张骨牌和2个黑方块。

　　五，但是，每张骨牌所能覆盖的相邻方块必然是颜色不同的，而剩下的2个方块则是相同的，所以不可能被1张骨牌覆盖。

　　六，所以，用31张骨牌覆盖这个缺损的棋盘是不可能的。

　　再来思考一下“三人决斗”的问题。

　　黑先生、灰先生和白先生要用手枪进行决斗，每人只能开一枪，轮流射到只剩下一个人活着为止。黑先生枪法最差，三次才能击中一次，灰先生次之，三次中能击中两次，白先生枪法最好，三发三中。为了公平起见，他们商定先由黑先生开枪，然后是灰先生（如果他还活着），再接着是白先生（如果他还活着）。问题是，黑先生应该先向什么目标开枪？