主题：横跳没有出路 -- 给我打钱87405

（1）

将一个正方形沿红线向内折，就能得到一个内接正方形，里面还有一个小正方形。

然后需要做什么呢？【列出数量关系式】。

学生需要掌握的是：有几个量，能列几个式。

这里有很多量，但例子中只讲面积，有4个量，所以至少能列出4个关系式。如同一个未知数对应一个关系式。

这个，是很多学生没有学会的。

没有学会，就会有很大的麻烦。因为上述内容是【指导思想】，它的功能是“引路”。

往下走。

一共有4个（面积）量，大、中、小正方形的面积，再加所有直角三角形的面积之和，我们给它们分别命名：

S1——大正方形面积

S2——中正方形面积

S3——小正方形面积

S4——8个直角三角形面积之和

于是有：

S1=S2+1/2*S4……①

S2=S3+1/2*S4……②

S1=S3+S4 ……③

以上皆目测可得。

如果没有前述的指导思想，也就能列出这么多。但如果有，那就不一样，学生会【知道】，“还差一个”，因为至少有四个关系式。并且还能猜出来第四个长啥样：①式中没有S3，②式中没有S1，③式中没有S2，所以第四个式子，应该没有S4。

那第四个式子是什么呢？

S1+S3=2*S2

这个关系式是我们目测不出来的。

当然，可能会有人说：S1-S2=S2-S3，怎么说目测不出来呢？对此，我会说：那是事后诸葛亮。人家告诉你了，你必然恍然大悟。

要不然，为什么 勾股定理那么晚才出现？

不入这个门，数学永远学不会，或者永远会觉得数学难。哪一门，都是如此。入门，就是找到了指导思想，有了引路人。

继续。列了四个式子，如果学生认识 不到，这全是加减法，因为都是面积，那不算入了门。因为认识到了这一点，就可以将四个式子转换成下面这个样子：

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

a^2+b^2=(a-b)^2+2ab

(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)

以上，熟悉不熟悉？多少初中生天天练这个，完全平方式、平方差、勾股定理？

再继续，从中提炼出“要素”：

a+b、ab、a-b、a^2+b^2

前面两个熟悉不熟悉？韦达定理，又联上二次函数跟二次方程了。

韦达定理只不过把下面这句话倒过来说了一遍：

已知一矩形的半周和面积，求各边有多长。

整个初中的所谓“大难点”，有15分钟就搞通了。

为什么 难？脑中木有指导思想，心里没有引路人。用粗暴的话来说，就是：没谱。

5000年前的人类就已经 搞清楚了上述内容，后面只是在“证明”，因为涉及到了负数、无理数……换言之，初中，在学5000年前人类就已经 掌握 的知识，再加一点后期的“延伸”。

（2）

数学入门（2）

为什么同一个节目（比如某个京剧段子），会有人反复的看？

上面讲到，其实韦达定理只是把一个数学问题倒过来讲了一遍。这里面还有文章。

所谓韦达定理，就是指，若ax^2+bx+c=0这样的一元 二次方程有两个实数根x1和x2，那么：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

而倒过来 说，则是：

若已知一个矩形的半周和面积，求它的两边各有多长？

设一边长为x，一边长为y，有

x+y=m(半周）

xy=n(面积）

两式消元联解，就能得到一个一元二次方程

x^2-mx+n=0

下面出现了重点：

上述式子，两根必为正数，但是，有可能是无理数根，也有可能解不出来，即，负数开平方问题，也就是后来的虚数根。

大家注意到了吗？

一下就冒了三个概念：无理数、负数、虚数。

然而，对于当时的人来说，他们看到的是什么呢？同样类型的方程，有的能解出来（整数或分数根），有的表达不出来（不会表达无理数），有的【猜出来有两个根，但完全不知道该如何表达它】。

我们中国古代数学是没有负数概念的，我们用的是“借”这个概念。我们的数学之所以没有像西方人那样建立起一个关于数的体系，恐怕不会有第二个原因。

所以我们要问：为什么 无理数、负数、虚数这三个概念这很难以建立？

无理数是怎么回事？无理数是一个“实”的数，所谓“实”的数，意思是说它是可测的，在现实中存在的，客观的。

所以发现无理数的难度要低。

负数和虚数，是“虚”的数，它们是一种“过程”数，这很像【功】这个概念，而不是【能】。换言之，负数和虚数是因为计算的需要而出现在数学语言当中的。

今人之所以感受不到它的难度，是因为今 人只不过把前人的发现背了下来。

感受不到它的难度，一定会对数学的学习造成巨大的阻碍。

好好想想，对于人类而言，是很难建立起“过程”数这样的概念的，难道不是？

因为数学的起源是测量，测量的对象就必然是客观存在的。

为什么 连牛顿都否认虚数的存在呢？

很难，非常难。

那么，为什么 我在这一节的一开始，要提到“为什么 有的人会反复去听同一支曲目呢？”

因为，这个世界上最难练的功夫 就是：当收则收，当放则放。

作为事后诸葛亮，有的人会说：数，有“结果 数”跟“过程数”之分，有“实的数”跟“虚的数”之分，这有什么好奇怪的呢？这有什么难以理解的呢？

那为什么 事前不是这样？

所以，【当收则收，当放则放】这一总策略，并没有被多数人接受，当然就谈不上掌握了。其实，这就是我反反复复提到的：得有两条腿。

很多人是拒绝“当收则收，当放则放”这一总策略的。

为什么 ？因为【没有任何人，可以用人类的语言，明确的告诉别人，什么情况下收，什么情况下放】。别人只能说到这里，只能表达出这样一种“意向”。

多数人采取的策略，往往是【全收】或【全放】。

为什么 会这样？因为多数人“算了一笔账”，若全收或全放，顶多吃点亏，合计是赚的，何必费那个脑子呢？

这两天有一则新闻，说的是一个ID为“辣笔小球”的人因侮辱解放军战士而被刑拘。根据我们的经验来看，这样的人，真的是“反动透顶”吗？其实并不是，相反，往往是不知道开玩笑的边界。对吗？

所以，全收或全放的策略是错的，必须要尽可能的学会“该收则收，当放则放”，必须要【自己去找到】“那个分界线”。

回到数学，请看下图：

这是发现勾股定理的两条路径。问：哪个难？

这两条路径，各有各的难点：

图中上半部分，采用的策略是“从起始”【直接】跳到“结果 ”，换言之，如果走过程，即将三角形剪下来再重新“拼接”，很难发现勾股定理。

图中下半部分，采用的策略恰好相反，走的是“过程”，即将三角形剪下来，再重组。但是，即便重组出一个新的图形，也很难“看出”勾股定理。

而我们回顾整个数学史，不难发现，数学家恰好也有两大流派，一派是“猜想派”，不知道过程，直接猜 出了结果 ，相当于图中的上半部分；一派是“证明派”，根本没有能力猜结果 ，但非常擅长于一步接一步的推导。

这两大流派往往既有矛盾，又有合作。所谓矛盾，就是“猜想派”提出猜想，“证明派”不予采信；所谓合作，就是“猜想派”提得出猜想，但不会证明，而“证明派”找到了办法将其证明。

为什么 我会经常说，老师不会教？

因为有太多的老师，看不出来学生是哪一块强、哪一块弱，应该在哪里下功夫。更不知道教会学生，解决问题的总策略是【连猜 带证】。

猜想需要什么？天马行空，不受约束。

证明或者说推导需要什么？动作规范，不可以随心所欲。

是不是听起来是相悖的？【不】。恰好相反，这俩是互相合作的关系。

比如前面提到的【有四个量，就必定有对应的四个关系式】，这就是一种规范，掌握 了这种规范，就可以弥补猜想力的不足，通过规范得到一个“想不到的角度”。

而有足够强大的猜想力，就往往可以破题，破了题，才能启动，否则证明力、推导力派不上用场。

下面换一个场景，来谈【当收则收，该放则放】或者说成【两条腿走路】，或者说成【静如处子，动如脱兔】，或者说成【枕戈待旦】。

抗美援朝第一次战役是怎么打赢的？

事后来看，论装备，论人数，论补给，志愿军根本就不是美军的对手。可是为什么 第一次战役“居然”打赢了呢？

关键之战，就是彭德怀命令39军直插美军后方，一举拿下了咽喉要道【云山】。实际上，即便如此，志愿军于“客观”层面来看，仍然不是美军的对手，可是为什么 美军就此溃败了呢？

很简单，打仗不是简单的“拼数据”，打仗是人在打。当美军收到情报，云山被志愿军拿下之后，立刻就陷入了恐慌：“完了！我们被包饺子了”。要说起来，彭德怀乃真战神也。要是林彪来指挥，他是绝不可能下达进攻云山之命令的。因为林彪是典型的“数据党”，在他看来，拿下云山又怎么样？兵力根本不可能围得住美军。既然如此，又何来切断美军退路一说呢？

所以说，对于怎么打仗，林彪是个小学生，根本就没有入门，彭德怀才入了门。他非常清楚，志愿军秘密入朝，美军不知道志愿军到底有多少人，只要将美军后撤路线当中的某个要道拿下，美军必定陷入恐慌，必定自己拔腿就跑，而美军一旦开始“疯了般的后撤”，志愿军的正面部队趁势追击，美军必定会出现陷入混乱，自相踩踏，必定是兵败如山倒。

大伙看，这是不是充分说明了，做人做事，绝不能【全收】或【全放】，而只能【该收则收，当放则放】？

而由于没有任何人可以给出一个量化的指标，教会他人，什么情况下放，什么情况下收，所以练习的重点也只能是不断尝试，不断品味。通过自己尝试，积累相关的经验，通过品味别人的做法和成果，“悟”出点什么来。