主题：【原创】机器学习的基础是什么？(0) -- 看树的老鼠

changshou did a great service with his following piece, without referencing complicated concepts such as "集合".

a 度量流形 is basically: locally 开集同胚, regionally/globally 微分同胚;

and with "时空是（某一类）度量流形", we have 一张全息屏,

and everybody is basically naked, as seen in that 全息屏.

the following has been posted before, and I ask sysadmin to allow me post it again, changshou's post is such a beauty.

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changshou: "时空中 度量结构（距离）的定义" [ 晓兵 ] 于:2014-09-14 09:52:53 复:4050282

1.

"信息处理本质上是一个物理过程"

孙昌璞 信息处理本质上是一个物理过程( ↑0 ↓0. 1 ... ustc website, 段路明郭光灿量子信息讲座. 看全文 分页 全看 树展 ...链接出处

2.

"在时空中 度量结构（距离）的定义 是个物理问题"

changshou: 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型

http://www.ccthere.com/alist/3659016

3.

changshou: 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型

is a great piece, rare in Chinese, and for most of us, reading in Chinese is still a lot of helpful, if not a must.

4.

It took 爱因斯坦 8 years to understand "度量流形", and with that, comes GR.

before that, 爱因斯坦 was more of physicist , helping 发现原子物理 (his Brownian movement modeling), 发现量子力学 with his "光电效应" model, etc

GR was 爱因斯坦巅峰, and at humanity level, we are still challenged by 爱因斯坦巅峰, we have not been able to grow beyond 爱因斯坦巅峰.

5.

the following is quoted directly from "changshou" post, he did a great job, and my thanks to him.

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能标记 点在时空中的位置 和 能定义或测量两个点间的距离 是两码事

建一个坐标系 就是用实数 来标记 4维时空（或4维流形）中的点的位置, 坐标系是局部的

在时空中 度量结构（距离）的定义 是个物理问题

度量结构可以用局部的坐标系描述

度量结构 与局部坐标系选取无关

流形上的度量结构是整体的

注意：如果我们不选某个 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系， 而是乱选一个坐标系（哪怕他可以扩张到整个闵可夫斯基时空），一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 可能不是 相对于这个坐标系的匀速直线运动。

如果区域很小，闵可夫斯基时空是很好的近似。所以如果不仔细，观察者会误认为 时空是平直的闵可夫斯基时空。这其实就是人类在广义相对论以前的认识状态

流形是 数学家引入的 一种很基本的几何概念。 它以抽象的方式定义 就如我们可以以抽象的方式定义实数（分数和无理数）一样。 物理上 我们用它 作为时空的模型。这么做 对于理解这一概念的人 自然得 就如 物理上 我们用实数 作为长度测量的模型一样。 不过一般人容易接受实数的概念 （其实也不容易，想一想无理数的曲折历史吧）， 但不易接受流形。

流形, 变形,

粘接或撕裂

定义数学的球面时， 你不需要 任何看见或感知它的能力， 用纯粹逻辑推理就够了。 这种抽象定义 的东西未必能够 在物理上实现， 但它有 潜在的物理实现的可能。内在的橡皮膜球面 就是这样的。目前为止 它还是 纯粹数学概念。 但后面我将解释， 以他为代表的流形 可以作为 物理空间的模型。所以 它有潜在的物理实现的可能。

在现阶段 （纯粹数学空间阶段）， 因为和物理时空 尚无瓜葛，内在的橡皮膜球面 无非就是 平面膜 加上 粘合指示。

流形是 3.5 的推广。 我们先固定 某一维数的欧式空间 （就想 2，3，4维好了）， 然后 发布 一个 只使用 这一维数的欧式空间中的一些部分的 一个粘合指示。这样 定义出来的 粘合物 就叫流形。 它的维数 等于 那欧式空间的维数。

一个几何的对象 （流形）是可以 “内在的” 存在的。 它是以 局部的 更基本的几何对象（欧式空间） 粘出来的 一个 整体的东西。它和局部的几何对象 维数一样。

流形 加上一个 它上面的 特定的 度量结构 叫做 度量流形。 这相当于 在流形上定义了距离。

2 是否有内在的弯曲 不是流形的性质，是度量流形的性质。度量流形 可以有内在的弯曲。是否有外在弯曲 不是度量流形的性质。

3 嵌入的度量流形 可以既有内在的弯曲 又有外在弯曲。 这两种弯曲没有关系。外在弯曲是 流形外的人 看到的直观的弯曲。

4 对我们来说，重要的是 内在的弯曲， 它可由在度量流形上 搞距离测量 来确定。

5 内在弯曲 外在弯曲 都是局部的性质。

内在的弯曲 就是度量结构（距离）和平直的欧氏空间（如平直的平面，平直的三维空间）不一样。 这里平直的欧氏空间指的是 距离是用 （在平面直角坐标系下）用勾股定理定义的。平直的欧氏空间也叫 有标准度量的欧氏空间。

外在的弯曲

我其实没有确切地说 什么是外在的弯曲。我不准备确切定义它。 不仅因为这个概念在将来不是很重要，也是因为 这其实就是人们 通常所说的弯曲。 只要你见到一个三维空间中的 直观上弯曲的东西， 那东西就有 外在的弯曲。 外在的弯曲 大体上 就是 以弯曲的方式 嵌入一个 流形（如三维空间）。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （7）广义相对论预览

广义相对论主要说的是以下三件事。

7.1 时空是（某一类）度量流形

这里的时空指的是 我们现实世界中的 物理空间和时间。因为度量流形可以内在的弯曲， 所以时空可以是 内在弯曲的。 这就是通常说的 弯曲的时空。F

从下一节开始我会详细解释 7.1的含义。

7.2 时空是 动力学的

这指的是 时空 作为度量流形 并不是与含于其中的物质无关了。 恰恰相反，时空 作为度量流形 是由一个 叫做爱因斯坦方程 的微分方程决定。 而爱因斯坦方程 包含了物质的分布。于是 时空是与物质有关的。

这我以后也会解释。在我看来 这是最难理解的部分。 而一般科普在打个比方后就回避了F。

7.3 万有引力 就是 内在弯曲的时空

这就是为什么 万有引力 是万有的。任何物质都在时空中， 因此都受到弯曲的影响，这种影响就是万有引力。

提示：请注意流形和度量流形的区别（复习（5））：流形上 谈距离弯曲等 没有意义，必须先给度量结构。 给了度量结构就叫度量流形。 一般流形上可以造无穷多种不同的度量结构， 所以说清是哪一个很重要。流形局部上等同于欧氏空间， 但这时说的欧氏空间是没有距离的， 等同则是橡皮膜世界中的等同：同胚（见（4））。 欧氏空间上可以造无穷多种不同的度量结构。 但其中有一种是用标准的方式造的度量（距离）：用勾股定理定义。 这样得到的有标准度量结构的欧氏空间 有时也会被简称为欧氏空间（我尽量避免就是了，但你应该能从上下文判断）。有标准度量结构的欧氏空间是平直的。 虽然流形局部上等同于欧氏空间， 度量流形局部上和 有标准度量结构的欧氏空间 可能是不一样的。 这就是 内在的弯曲

8.1 一个初步的时空模型：4维流形

我们的直观体验告诉我们 物理空间似乎是3维的。时间似乎是一维的。它们似乎是无限可分的可以连续改变的存在。 要标记（确定）一个事件（比如一个点的运动），要四个数。 三个定位置，一个定时刻。位置可以连续改变， 时刻也可以。

这不一定是对的。 但我没发现能否定这一点的证据。 我暂且接受它。于是我用四个实数来标记点的运动（或事件）。

4维的欧氏空间中的一个点 就是用四个实数来标记的。 所以我可以 用4维的欧氏空间中的一些点 来标记时空中的点。如此说来 4维的欧氏空间 （注意，我还没考虑度量）像是一个 时空模型。 但等一等， 流形的定义告诉我们 可能出现局部是欧式空间， 但整体不是的情况。 仔细一想， 关于时空 我其实只知道局部的情况 （人类只有不长的历史 和不大的活动范围）， 所以为保险起见， 我不预先排除 时空整体不是欧氏空间的可能。 于是一个更合理的时空模型是: 时空是 4维流形。这里没有任何神秘之处， 因为这基本就是流形的定义。 我不假定 时空包含在其他什么东西里，所以流形就不是嵌入的流形。F

8.2 模型太粗糙

4维流形这个模型 是非常粗糙的。 因为我们的经验还包括 我们可在时空中定义（或测量）距离。这距离包括空间的距离和时间的距离（当然这假定我们能把时空分离开，如果不能，那这“距离”可能同时包含时间的空间的贡献）。 然而4维流形 没有距离这种东西。

要特别强调的一点是， 能标记 点在时空中的位置 和 能定义或测量两个点间的距离 是两码事。 奇怪吗？F 仔细想想。哪怕在欧氏空间中 都是这样。 所谓 （比如用4个实数）标记 点在时空中的位置 就是通常讲的 建一个坐标系，用于标记的实数 就叫坐标。给定两个点的坐标， 你能写出它们间的距离吗？ 两个点的坐标是八个数，距离是一个数。 你得告诉我一个法则 从八个数造出一个数来。 給一个法则实际上是给一个定义。你能做的事其实是定义它们间的距离。通常 我们用勾股定理来定义距离（回想一下中学里 怎样在平面直角坐标系下 算距离）。 定义距离 就是 给度量结构。 当然不是说 任何从八个数造出一个数的法则都算距离，有些明显的性质需要满足， 但即便如此， 仍然有太多可能的类型。可以在数学上继续探讨这个问题，但这对我们已没有太大意义。 这是因为下面的原因。

8.3 时空中定义距离是个物理问题

这其实就是爱因斯坦 从狭义相对论起 就强调的一点。要定义两个时空中的点的距离， 需要一个物理上的操作将这两点联系起来 （比如从一点旅行到另一点，或使用某种信号）。 然后从物理操作中 设法提取（定义）一个数 作为距离。 这也是为什么在上文中 我常把测量和定义放在一起。

因此 我们不能随意的 定义距离 （或度量结构）。F 我们需要一些 物理上的结果。 这个结果叫 狭义相对论（见下篇）。

8.4 坐标系是局部的

在8.2中 我们说 建一个坐标系 就是用实数 来标记 4维时空（或4维流形）中的点的位置。 8.1 中 我们指出 这等价于说 用4维的欧氏空间中的点 来标记 时空（或流形）中的点的位置。好了， 我们知道 4维流形 可能只有在局部上 才是 4维欧氏空间。 所以 建一个坐标系（用4维的欧氏空间中的点 来标记）这件事 只是在流形的局部上作的。 换言之， 如果流形 是由若干标准模块（局部上的欧氏空间）粘成， 则每个标准模块上 可自带 一个坐标系， 但 一个标准模块上自带的坐标系 未必能 扩张为 整体的 坐标系。

比如 嵌入的（或内在的）2维球面 在1号2号平面膜上 可以各自建立 平面直角坐标系， 但是不可能有整体的平面直角坐标系（如果有，岂不意味着2维球面 是一个平面了？F）。

8.5 流形上的度量结构是整体的

这其实包含在5.6的定义中了。 因为在那里我们要求 各个标准模块上的度量结构相互匹配。 注意：度量结构是整体的 和 度量结构的内在弯曲是局部的 并不矛盾。一个给定的度量结构 可以在这一块 弯曲得多一点， 那一片弯曲得少一点。 比如 把一个嵌入的几何球面 拉扯为一个葫芦形的表面后， 就是这种情况。

8.6 度量结构可以用局部的坐标系描述

这事实上也在前面解释了。 还记得 8.2中的 八个数造一个数的法则吗。 定义这个法则就是在局部上描述度量结构， 而八个数是坐标（局部的）。 所以度量结构 可以用局部的坐标系描述。5.4中讲度量结构时 我使用了标架这个词，那里说的标架就是这里说的局部坐标系。当然 用某一个局部的坐标系 描述的只是 度量结构 在装备这一个局部的坐标系的标准模块上的部分。

8.7 度量结构 与局部坐标系选取无关

在8.2中已强调了 坐标系无非就是对点的标记 （相当于给点起名字）， 而距离（度量结构）和你怎么标记点（点的名字叫啥）没有关系。更确切地说， 我们定义度量结构时 就必须要求 度量结构 与局部坐标系选取无关。 这其实是 定义的一部分。

8.8 再读一遍 8.4 到8.7

注意: 8.4 到8.7 属纯粹数学。 但因为 在时空中 度量结构（距离）的定义 是个物理问题，因此我们有：

8.9 从 8.4 到 8.7 的讨论有重要物理意义。

什么意义？ 下面会说。

狭义相对论 提供了又一个 初步的时空模型， 叫做 闵可夫斯基时空。 它是一个4维度量流形， 包含了 3维物理空间和1维时间。

强行要求“三正一负” 的度量结构是整体的

可以强行要求吗？F 可以，只要 定义“三正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形，闵可夫斯基时空就是4维的欧氏空间 所以我们可以规定 该4维欧氏空间是唯一标准模块，粘合指示为：什么也不粘。

这样一来 整体的坐标系 意味着“三正一负” 的度量结构是整体的。 4维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。

10.10 用坐标系描述度量结构 不同于 用坐标系定义度量结构

你可能问如果坐标只是 点的名字 按8.7的说法，距离自然不依赖于坐标系的选取，10.9中还有什么好证明或推导的呢？仔细一想，不对呀。如果真按8.7 那应该是 任何坐标变换（不光是洛伦兹变换，平移原点）都不改变闵可夫斯基时空的距离（度量结构）。到底哪错了？

这里的问题在于 我们实际不是处在8.7中的情况。8.7讲的是固定了一个度量结构（距离） 然后选择坐标系去描述它。 而10.9这里实际上是 先定义（整体）坐标系 然后通过“二正一负”式的 “勾股定理” 用坐标系定义 度量结构。 所以 不同的（整体）坐标系 原则上讲 可能定义出不同的度量结构！这时10.9 告诉我们 只要不同的整体坐标系 是由洛伦兹变换和平移变换联系起来的 那么定义出来的度量结构其实是相同的。

所以 用坐标系描述度量结构 和 用坐标系定义度量结构 是不同的。这不是文字游戏。这件事有时候专业人士都会搞错。

用坐标系定义度量结构 其实是一个不好的习惯。因为你必须检查 你的度量结构实际上不依赖于 用于定义它的坐标系 （不觉的是一件别扭的事吗？）。

下面讲闵可夫斯基时空的物理意义。 这篇同时也是 狭义相对论概要

提示：一个物质点和一个时空中的点 不是一回事F。一个物质点在时空中对应一条线：它的世界线。即它的运动在时空中（不是空间中）扫出的轨迹。这是因为随着时间的流逝，他会在时空中扫出一条线，哪怕它相对于某坐标系静止（这情况下 时间方向上还在动嘛）。它的世界线完整描述了 这个物质点在时空中的运动。这里说的相对于某坐标系静止，是指一个物质点在某坐标系下，空间坐标不变。某物质点在闵可夫斯基时空里匀速直线运动，指的是物质点的世界线是直线。注意 定义闵可夫斯基时空里匀速直线运动时我们没选任何坐标系F。一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 和 相对于某个坐标系的匀速直线运动 是两回事（见下文讨论）F。我们可以把一个时空中的观察者 理想化地当作一个物质点。

11.0 用两句话解释 狭义相对论：我们的物理时空是闵可夫斯基时空。 物理规律 在洛伦兹变换和平移下 不变，如同 闵可夫斯基度量结构 在洛伦兹变换和平移下 不变。

仅用第一句话我们就能推出很多东西。

11.1 取一个描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。接下来所说的整体坐标系 都指 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。我们叫该整体坐标系 整体坐标系A. 整体坐标系A的选取，给出了一个将 闵可夫斯基时空 分解为时间部分和（物理）空间部分 的时空分解(因为“三正一负”中的“一负”的方向 被定为时间方向)。F

11.2 由于整体坐标系A是整体的 时空分解也是整体的。整体坐标系A的时间轴 自身是一根世界线 且是一条直线。这世界线对应于一个物质点（观察者）的运动。由于 观察者 在 时空分解的坐标系中 （物理）空间坐标为零（时间轴上的点 空间坐标总是0）， 在该时空分解中，该观察者是静止的 （时间位置在变 空间位置没变）。

11.3 取第二个定义闵可夫斯基时空的 整体坐标系B。我们便有了 另一个整体时空分解 和在其中静止的观察者。这个观察者的世界线是整体坐标系B的时间轴。 这是一条直线。于是我们说观察者在闵可夫斯基时空里匀速直线运动。在整体坐标系A的时空分解中这也是一条直线。 所以在整体坐标系A的观察者看来，这是相对于该观察者的匀速直线运动的轨迹。为啥是相对于该观察者的匀速直线运动？ 因为 直线（世界线）总是和整体坐标系A的时间轴有一个固定的夹角，这说的不就是 在整体坐标系A的观察者看来 匀速直线运动吗？这就是我们通常理解的 相对的 匀速直线运动。

注意：如果我们不选某个 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系， 而是乱选一个坐标系（哪怕他可以扩张到整个闵可夫斯基时空），一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 可能不是 相对于这个坐标系的匀速直线运动。

11.4 前面讲过不同的整体坐标系由洛伦兹变换和平移 联系起来。根据11.3 在这些整体坐标系中静止的观察者 相对间 作匀速直线运动。我们把这类观察者称为惯性观察者。整体坐标系 称为 惯性参照系。

狭义相对论的一个基本假设是：世界上存在一种观察者， 名叫惯性观察者，他们之间相对匀速直线运动。我们可以这样定义他们：不受外力的物质点（观察者）， 就是惯性观察者。有了惯性观察者， 就可以 以他们的世界线为时间轴 建立每个惯性观察者自带的时空坐标系（从而有了时空分解），叫惯性参照系

狭义相对论的又一个基本假设是：光在不同惯性参照系下速度不变。这个假设来源于电磁场的理论。电磁场的麦克斯韦方程说 电磁波（包括可见光）在不同惯性参照系下速度不变。这个假设也受实验支持。 如果我们用勾股定理 在某个惯性参照系里 定义空间距离， 我们就发现 之前我们定义的某点处的光锥 就是经过该点的所有方向的光的世界线的集合。 光在不同惯性参照系下速度不变 意味着 光锥也不变。可是 我们前面讲过光锥可以用 “三正一负”的“勾股定理”定义的闵可夫斯基时空距离 来定义。 而我们又知道 不同整体坐标系下 闵可夫斯基时空距离不变（意味着光锥也不变）。

如果 我们把惯性参照系 作为时空中的 整体坐标系， 然后用这些整体坐标系 和“三正一负”的“勾股定理”来定义距离， 我们就得到闵可夫斯基时空。 反过来， 如果我们假定时空是 闵可夫斯基时空，然后用整体坐标系来定义惯性参照系，我们就既建立了 惯性参照系（而且惯性参照系间相对匀速直线运动）， 又实现了光在不同惯性参照系下速度不变。

这就是闵可夫斯基时空的物理来源。

12.1 “三正一负”类型的度量结构

闵可夫斯基时空 是在 4维欧式空间上 用“三正一负”式的 “勾股定理” 定义的。4维欧式空间上 还可以定义 其他度量结构。 一个基本的想法是 使用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。

此话怎讲？ 闵可夫斯基时空 使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 在把 四个坐标的平方 作加减时， 每一个单独的平方 前面的系数是 1。 这里的要点是 不管你在时空中任何一处用这个“勾股定理” 这些系数都不改变。即 坐标的平方前面的系数 是常数 （不依赖于时空位置）。 在此意义上讲 我说 闵可夫斯基时空使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 是“常系数的”。

现在 我们放宽要求 我们允许 坐标的平方前面的系数 不是常数（依赖于时空位置）。 这时的 “勾股定理” 就叫变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义的度量结构（距离）叫做 “三正一负”类型的度量结构。

当然你可能问 变系数时 取那个系数。 这其实是标准的微积分课程里的积分的问题。我们想要算一条线的长度。 我们把线切成很多小段，每一小段上系数变化很小， 我们任取一个系数 然后在这一小段上 用“勾股定理”。因为小段上系数变化很小 这是一个好的近似。 把所有小段上所算的距离加起来，这就是一个近似的长度。 现在我们让每一小段的长度 越来越小趋向于0，则近似长度的偏差 越来越小趋向于0。

上面一段话不懂没关系，只要能接受 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义度量结构 就可以了。

但还有一个问题， 我们上面算的 实际上是连接某两点的某条线的长度。 它当然依赖于 这条线的选取。固定两个点有没有一条特殊的线连接它们呢？答案是肯定的。这叫测地线。 对闵可夫斯基时空 或 有标准度量的欧式空间 测地线都是通常所说的直线。 在闵可夫斯基时空 两点间直线（测地线）的长度（按上面的算法）就是 闵可夫斯基时空距离。

测地线的定义我就不写了（以后会解释物理意义），我只指出 测地线是由度量结构决定的。它可以理解为 在一个度量结构下的 标准的定义（测量）两点间距离的方法F。 如果度量流形是以前讲的几何球面（有经纬线圈）， 那么经线都是测地线。 这也是测地线 名称的由来。

12.2 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形

最快捷的方法，是把这看成是平直的时空的定义。 如果要负责一点， 平直的原因在于我们用了“常系数的”“三正一负”式的 “勾股定理” 定义闵可夫斯基时空。

你可能问 为何 闵可夫斯基时空 和有标准度量的4维欧式空间 都是平直的（感觉他们俩不一样啊）。 回答是， 我们不比较 “三正一负”类型的度量结构 和 “四个正号”类型的度量结构F。 我们只比较同一类型的。 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形， 有标准度量的4维欧式空间 是平直的“四个正号”类型的度量流形。

12.3 把流形和闵可夫斯基时空 结合

我们把（8）和（9）的想法结合起来。 我想接受狭义相对论， 又不想排除 时空整体上有蹊跷 的可能。 于是一个自然的模型是 时空是一个度量流形，在局部上这个度量结构是闵可夫斯基时空。

12.4 也许时空有内在的弯曲

在12.3中给的模型已经是一个很精确的模型了。12.2告诉我们 这个模型是平直的。 可是我一旦知道了 度量流形可以内在的弯曲， 我便禁不住怀疑 也许时空是 有内在的弯曲的度量流形。哪怕在实验上我暂时证明不了（当然目前的实验已经可以证明有内在弯曲了），我也不愿排除这种可能。 于是一个更稳妥的模型是 时空是 （可以有内在弯曲的） 一个 “三正一负”类型的度量流形。F我们把 “三正一负”类型的度量流形 叫做 洛仑兹流形。

12.5 广义相对论认为 时空是洛仑兹流形。 这是广义相对论的一个基本观点F。有时候为了强调时空是洛仑兹流形， 我称时空为 时空洛仑兹流形。

13.0 时空是洛仑兹流形 的观点不是从 时空是流形 及 狭义相对论 推出来的

时空是洛仑兹流形 是综合了这两个观点的一个推广。 但我们可以有更一般的推广。 在有的推广中 甚至度量结构都不是必需的。时空是洛仑兹流形 只是一个合理的假设。它被接受 是因为广义相对论的成功。

13.1 闵可夫斯基时空 是时空洛仑兹流形的 局部近似

由于一般的洛仑兹流形 有内在的弯曲， 即便在局部上它也不是 闵可夫斯基时空。 但这时闵可夫斯基时空 是洛仑兹流形的一个近似。 局部区域越小，近似就越好。局部区域趋于0（向一个点收缩），则误差也趋于0。这其实也就是12.1中 第四段话讲的事情。

数学上 我们说 闵可夫斯基时空 是洛仑兹流形的“切空间”。 切空间 是 曲线的切线，曲面的切平面 的推广。但是这里切空间没有嵌入另外一个空间，因为我们的流形不是嵌入的。这小段不理解没关系F。

你只需知道， 对洛仑兹流形上每一点 我们都可以联系上一个称为切空间的闵可夫斯基时空。这个点可等同于该闵可夫斯基时空上的一个原点。 在该点附近的局部区域，洛仑兹流形 和该闵可夫斯基时空很接近。区域越小，近似越好F。

13.2 狭义相对论是广义相对论的局部近似

一个观察者在时空中运动的轨迹是一条世界线。观察者有权利 用自己喜欢的方式 来标记时空中的点。 也就是说，他可以自行选择自己附近时空区域上的坐标系。这就是 观察者体验时空的最基本一步。由于内在弯曲是局部的， 并且是不依赖于坐标系选取的（8.7）。所以观察者有可能利用自己的局部坐标系 就判断出时空是弯曲的（比如发现勾股定理在现实中不成立）。

然而 13.1 告诉我们如果区域很小，闵可夫斯基时空是很好的近似。所以如果不仔细，观察者会误认为 时空是平直的闵可夫斯基时空。这其实就是人类在广义相对论以前的认识状态

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （14）因果结构

提示：这篇不理解的话，可以跳过。

14.1 狭义相对论中的因果结构

狭义相对论中如果一个观察者超光速会怎样? 超光速意味着世界线落在光锥外， 即 世界线可以把 两个类空间隔的点联系起来。于是这两个点处发生的事情可以有物理联系。 比如 第二个点处发生的事（结果） 可以是由第一个点处发生的事（原因）引起的。可是用洛仑兹变换不难证明 存在惯性参照系 使得在这惯性参照系看来 第二个点处发生的事（结果）发生在前， 第一个点处发生的事（原因）发生在后。于是在这惯性参照系看来 因果关系被破坏了。如果不想因果关系被破坏， 我们就得禁止超光速运动。也就是说观察者的世界线应该是 类时世界线（亚光速运动）。

14.2 广义相对论中的观察者的世界线应该是 类时世界线

这是14.1 和13.3 的结合。

14.3 时间定向的洛仑兹流形

闵可夫斯基时空是有时间定向的。 我们可以分过去未来。这意味着我们需要 给每一条世界线定方向F。取某个点A上的光锥。它由两个锥形分支尖对尖的组成（两个锥形分支的尖点都是点A）。 为啥是两个？ 因为光锥 是由 坐标平方 三正一负的加起来等于0 这个条件定义的。如果一个点在光锥上，把它的坐标全添上负号得到一个新的点。 新的点的坐标平方没变，三正一负的加起来仍等于0， 所以仍在光锥上。这个对称性说明光锥有两个形状相同的分支对称的放置在一起。一个分支里的时间坐标是负号，另一个是正号。所以一个对应光在过去（点A的过去）的轨迹，另一个对应光在未来（点A的未来）的轨迹。 这两个分支一个称为过去光锥 一个称为未来光锥。这两部分的内部各自对应 过去与未来的 与点A类时间隔的点。 所以 对一条类时世界线（观察者的世界线） 我们知道 它在某点的未来方向 是指向该点的未来光锥内部的。 由于光锥被洛仑兹变换保持， 不同惯性参考系对时间方向不会有不同看法。F

我们要求洛仑兹流形也有类似的用光锥定义的时间定向。细节不重要。大致说来，有的洛仑兹流形可以，有的不可以。所以我们应该要求，时空是 可以时间定向的洛仑兹流形。 以后我要举的例子 都是这样的。但要注意的是 洛仑兹流形上用光锥场（见13.3）来定义时间方向只能是局部的。

14.4 广义相对论中的因果结构

乍看起来14.2 保证了广义相对论中 因果关系也不被破坏。但还有其他可以破坏因果关系的机制。比如 由于洛仑兹流形整体上 可以不是闵可夫斯基时空， 我们不能排除 某个观察者的世界线（类时世界线）首尾相接的可能。 这意味着 沿着这观察者的世界线走 在任何一点 都有良好的时间定向， 但整体上 他却回到了他时空之旅的起点（注意这意味着他回到了过去的某个时刻）F。这里的破坏机制 是我们有局部的时间定向，但没有整体的 （因为有首尾相接的类时世界线）。这与闵可夫斯基时空中超光速破坏因果关系的机制 完全不同。更糟糕的是有些这类例子 满足爱因斯坦方程 属于“可能的时空”（见（16）篇）F。