主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （17）引力和广义协变性

17.1 不需要谈引力

有质量的东西会产生引力， 引力作用于任何物体。它的作用就是 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。

根据爱因斯坦方程， 有质量的东西会导致时空弯曲， 时空弯曲 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。

广义相对论的再一个基本观点是: 上面两段话说的就是一回事（所谓的“等效原理” 说的就是这件事）。引力就是时空弯曲。 所以不必再说什么 地球产生引力以及这引力是怎样的话了， 直接说 地球弯曲了时空以及是怎样弯曲的。

17.2 爱因斯坦方程的来历

虽然在我的科普中不需要谈引力， 但我要指出历史上 爱因斯坦方程的导出 是研究引力的结果。大体上说 是通过分析引力的一些特性 意识到用弯曲时空的几何语言来描述 是很好的选择， 然后比照着场论的一些方法 以及 在弱引力场的情况下应该化为牛顿引力的要求 凑出一个结果（但是不对）。 然后对这个结果进行修补， 消除一些明显不合理的地方。 最终 制约时空的基本方程：爱因斯坦方程就诞生了。

17.3 爱因斯坦方程有多种导出法

我知道的导出法就有七八种。有看起来比17.2 更自然的方法。 而且不少并不需要先分析引力。 这其实是一件很深刻的尚未被人类吃透的事情（比如弦理论的一个惊人之处 就是它可以从一个与引力和动力学的时空毫不相关的出发点 导出爱因斯坦方程）。

17.4 在广义相对论中 爱因斯坦方程是基本假设

因为所谓的导出，实际上总要用一些不能从纯粹逻辑推出的假设（过程是数学推理， 但用什么数学从何推起 不是由纯数学决定的）。因此我要强调这一点。

17.5 广义协变性

这是广义相对论中 重要性可与“时空是动力学的” 这一观点相并列的要点。 广义协变性 指的是 爱因斯坦方程中左边的几何量 只依赖于 度量结构本身而不依赖于坐标。 还有 右边的物质量 也不依赖于坐标。

这为什么是一件重要的事呢？ 回想一下 坐标系的物理意义。每一个时空中的观察者 都带有自己的坐标系（自己的标记时空中点的方式）。他们 可以在自己时空经历中（世界线）的任意一点使用任意的坐标系 并随时转用不同的任意的坐标系。每一个坐标系都带有不同的时空分解方式。不同坐标系之间，不同观察者之间对于时间空间的看法有极大的差异。 而且坐标系还只是局部的。这是一个多么混乱的世界啊。这时，广义协变性要求，时空的性质 物质的分布 和制约他们的规律 是不依赖于 坐标系和观察者的。这就为 纷乱的 时空体验 建立了一个基本组织原则。

在狭义相对论中，我们有一组特殊的整体坐标系（惯性参照系）。 当我们用它们来定义 度量结构后，只有特殊的坐标变换（洛伦兹变换）能保持物理规律的形式。但在广义相对论中 广义协变性要求 任何的坐标变换都不改变我们的方程。这就是 广义相对论中“广义”一词的由来。（这里有一个重要的区别，狭义相对论中我们用整体坐标系定义度量结构， 这其实是很不自然的观点（见（8））。在广义相对论中，我们再也不能这么做了，我们只能用局部坐标系描述度量结构（8）。）

广义协变性 是很强的对称性要求。 它限制了 要在弯曲的动力学的时空中描述物质运动的规律 所能采用的形式。 为了能成为一般的时空中 也能成立的规律，传统的电磁场论，流体力学等都必须作改造 以满足广义协变性（已经改造过了）。

17.6 规律 和 规律的规律

广义相对论描述引力，从这个意义上讲，他是物理规律，即它描述 一种物质的相互作用。

然而广义相对论本质上 又是时空的理论。时空的理论 难免要制约 任何物质的相互作用。 从这个意义上讲， 它是规律的规律。

作个比较好了。电磁场理论描述电磁场，是规律。 电磁场理论对万有引力的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。牛顿引力理论描述万有引力，是规律。牛顿引力理论对电磁场的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。

广义相对论则不然。 本来他不是研究电磁场论，流体力学或者其他物质规律的。 可一旦问世， 就逼得电磁场理论，流体力学和其他规律非接受改造不可（17.5）。为啥这么霸道？因为这理论控制了时空。广义相对论 规定了其他物理规律需要满足的一些条件（主要是广义协变性 ）。 这就是 规律的规律。 狭义相对论也是 规律的规律，但他是广义相对论的特例和近似。

还有一个 像广义相对论一样霸道的 规律的规律， 他叫量子力学。

规律的规律 碰上 规律的规律 会怎样？量子力学和狭义相对论 相撞，最后结合起来了，叫做量子场论。 量子场论 加上一个叫规范场论的规律， 给出了当代描述基本粒子的理论：量子规范场论。量子力学和广义相对论的结合还没有实现，这是当代物理的一个基本问题。

17.7 更高维（或更低维）的时空

广义相对论的模式不需要假定空间是三维的。 爱因斯坦方程 在任意维都可以写。 只要假设时间还是一维的，以上讲的各种概念（如光锥等）也都可以用。不过低维数时弯曲的花样比高维数时要少。比如 如果我们让 爱因斯坦方程右边等于0（没有物质），我们就得到 描述弯曲的数学量（左边）也是0。你可能以为 这意味着时空是平直的。 其实有很多控制内在弯曲的数学量，爱因斯坦方程用的只有中等控制力。 从4维（时空）开始 爱因斯坦方程用的描述弯曲的数学量（左边）为0 不能保证 时空是平直的（闵可夫斯基时空）。 也就是说 从4维（时空）开始 广义相对论允许 空的（没有物质） 弯曲的 时空。

有一些前沿理论（如超弦理论）对时空维数有限制，是有广义相对论之外的其它原因。不过即便如此， 在这些理论中 给定维数的时空 在能量不是极高的情况下（以至于要考虑量子引力），仍然是由 广义相对论描述的。

待续

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