主题:林黛玉、薛宝钗、史湘云选美之迷雾重重。 -- 切地雷
前一篇我们讲了一个连环套的例子。与之相比,独裁的问题,很难讲是更糟糕还是好一些。什么是“独裁”?就是说,出现这种情况:评委某某,无论他怎样排序,他给出的顺序就是最后的名次。
这个有吗?
如果我们一定要保证第一篇所列举的条件,那么这个真的有。 而且同样的,不管您怎样增加评委的人数,这个还是有。
下面我们来不严格地证明一哈。证明分三步:
第一: 天堂到地狱,只差一票
a. 假设我们有这样一组评委,他们一致认为林妹妹最丑。那么最后的结论,也应当是林黛玉最丑。
b. 如果同样的一组评委,他们一个个地改变看法,都认为林妹妹最美。那么最后的结论,也应当是林黛玉最美。
C. 林MM从最丑上升到最美,是评委们一票一票改过来的。必然有这么一票,让林MM离开了最丑的位置。我们这一步要证明的是:也就是这一票,让林MM直达天堂勇夺第一,而不是让她暂居第二,由后面的评委把她推上第一的宝座。
我们用反证法。假设这一票让林MM位居第二,宝姐姐第一,湘云第三。(史薛位置可以互换,不影响证明),也就是说,薛>林>史。
现在林妹妹在每一张选票上的位置,不是第一,就是第三,也就是说,薛史两位妹妹之间的顺序,与林妹妹无关。如果那些认为薛>史的评委们都改变看法,从而让整个评委组都认为史>薛,这个不应改变薛、史两位妹妹与林妹妹之间的相对关系。也就是说,虽然现在史>薛,但薛>林, 而林>史。推出矛盾。假设不成立,原命题正确。
这一票,让林妹妹从第三,直接跳到第一去了。
第二: 一c所描述的那一票的拥有者,就是薛、史两位妹妹之间胜负的独裁者。
为方便讨论,我们把那一票的拥有者称为焦大。
假设有这样一组评委,从第一个直到焦大之前,都认为林妹妹最美;从焦大之后,都认为林妹妹最丑;只有焦大评委品位独特,认为薛>林>史。
如果只考虑林、薛之间的名次,这样一组评委得出的结果与一C焦评委改变主意之前的情况等价----那时侯薛>林。(林妹妹当时还在地狱里呢。)
如果只考虑林、史之间的名次,这样一组评委得出的结果与一C焦评委改变主意之后的情况等价----那时侯林>史。(林妹妹已经到达天堂了呢。)
于是组织的结论是薛>史。反之,如果焦大评委认为史>林>薛。最后的结论是史>薛。注意在这个过程中,我们完全无视了其他评委对史、薛两位妹妹的看法。所以在这样一组评委中,焦大就是薛、史两位妹妹之间胜负的独裁者。
第三: 独裁者只有一位。
我们已经发现,焦大就是薛、史两位妹妹之间胜负的独裁者。同理,薛、林之间,也有一位独裁者,林、史之间,也有一位独裁者。 他们是不是同一个人?
假设不是。
薛、林之间的独裁者,我们姑且称之为焦二;林、史之间的独裁者,我们姑且称之为焦三。 如果焦二和焦三哥俩好,他们联合起来,由老二裁定薛>林,由老三裁定林>史;或者那么由老二裁定薛<林,由老三裁定林<史;这哥俩就可判定:薛>林>史或者薛<林<史,从而左右薛、史之间的顺序,使焦大不能够独裁。
所以假设错误。
所以独裁者只有一位!
于是很不幸的,我们千娇百媚的三位妹妹,究竟谁最漂亮,竟然是毫无审美能力的焦大同学说了算了。
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🙂林黛玉、薛宝钗、史湘云选美之迷雾重重之五 12 切地雷 字2632 2010-08-18 14:59:38
🙂谢宝 青袂 字150 2010-08-18 18:29:08
🙂林黛玉、薛宝钗、史湘云选美之迷雾重重之四 13 切地雷 字910 2010-08-17 13:44:48
🙂林黛玉、薛宝钗、史湘云选美之迷雾重重之三
🙂这是一个数学贴 大秦猛士 字46 2010-08-15 21:50:09
🙂林黛玉、薛宝钗、史湘云选美之迷雾重重之二 19 切地雷 字2145 2010-08-13 12:56:06
🙂直觉啊,就你这样一会儿加一人,一会儿投一次票 1 不远攸高 字314 2010-08-16 23:32:50
🙂有笔误? 藏猫猫 字645 2010-08-15 10:22:06