主题：【原创】勾股定理（十三）---布尔巴基与数学结构 -- 我爱莫扎特

首先很抱歉，我的电脑还是没修好，只能暂时用别人的，所以尽管后面的文字已经打了腹稿，却很难在短期内完成。只好先贴一些别的东西。

布尔巴基学派的诞生其实有其历史的必然性，大家很容易发现，20世纪中各个领域都出现了结构主义的浪潮，比如艺术与哲学等。对此，著名心理学家皮亚杰（Jean Piaget）的名著《结构主义》有完整的论述。我下面贴一段引文，全文可以在如下链接看到：结构主义

6．母结构

但这还只是一个部分的胜利。在数学界可以称之为结构主义学派的，也就是布尔巴

基学派（les Bourbaki）的特征的乃是企图使全部数学服从于结构的观念。

传统的数学，是由各不相关的章节如代数、数论、数学分析、几何、概率论等等所

形成的一个整体，其中每一部分研究一个特定的领域，各自研究若干被内在性质所决定

的“存在”或对象。群结构可以应用于极不相同的成分，而不是仅仅适用于代数的运算。

这个事实促使布尔巴基学派按照类似的抽象原理来展开对种种结构的研究。如果我们能

把诸如数、位移、射影等（而我们已经看到，这里既有运算的结果，也有加在运算本身

上的运算）这些已被抽象化了的对象称为“成分”，群的特性却不是由这些成分的本性

来确定的。群以高一级的新的抽象超越这些成分；这新的抽象就是要抽绎出我们可以使

任何一种成分都能受其支配的某些共同的转换规则。同样，布尔巴塞学派的方法，就是

用组成同型性（isomorphismes)的办法，去抽绎出最普遍的结构，使各种不同门类的数

学成分，不问这些成分来自哪个领域，完全根本不管它们各自的特殊性质，都能服从于

这些最普遍的结构。

这样一件工作的出发点，是某种归纳法，因为我们所研究的各种基本结构的数目和

形式都并不是先验地推演出来的。这种归纳法，导致发现了三种“母结构”，即所有其

它结构的来源，而它们之间被认为是再不能互相合并了（三这个数目，是经逆退式分析

得到的结果，不是某种先验构造的结果）。首先是各种“代数结构”，代数结构的原型

就是群，但是还有群的派生物（“环“[anneaux英文为rings]、“体”[corps英文为fi

eld]，等等）。代数结构都是以存在着正运算和逆运算为其特点，即有从否定意义上体

现的可逆性（如T是正运算，T-1是它的逆运算，则T-1·T=0）。其次，我们可以看到有

研究关系的各种“次序结构”，它的原型是“网”（reseau或treillis，英文为lattic

e或network)，也就是一种普遍性可以和群相比拟的结构，这种结构最近才有人进行研究

（戴德金德（Dedekind〕、比尔霍夫（Birkhoff〕等人）。“网”用“后于”（succed

e）和“先于”（precede）的关系把它的各成分联系起来；因为每两个成分中总包含有

一个最小的“上界”（后来的诸成分中最近的那个成分，或“上限”[supremum]）和一

个最大的“下界”（前面成分中最高的那个成分，或“下限[infimum]）。网和群一样，

适用于相当大量的情况（例如，适用于一个集合中的“部分集合”或“单化复合体”[s

implexe]，或适用于一个群和它的那些子群，等等）。网的可逆性普遍形式不再是逆向

性关系了，而是相互性关系：如用加号（+）替换乘号（·）、用“先于”关系替换“后

于”关系，就使“A·B先于A＋B”这样一个命题转换成了“A＋B后于A·B”这样一个命

题了。最后，第三类母结构是拓扑学性质的，是建立在邻接性、连续性和界限概念上的

结构。

这些基本结构被区分出来并被阐明了特性之后，其它结构就通过两个过程接着产生：

或者通过组合的方式，把一些成分的整体，同时放到两个结构中（例子是代数拓扑学）；

或者通过分化的方式，也就是说，硬性规定某些确定子结构的限制性公设（例子是，用

引进直线守恒，接着是平行线守恒，接着是角的守恒，……等的办法，以连续一个接一

个嵌套的子群的形式，从同型拓扑群中派生出来的各种几何群。参见第五节）。人们同

样还可以从强结构到“比较弱的结构”进行分化，例如，一个结合律性质的“半群”，

既没有中性成分，也没有逆成分（自然数>0）。

为了把这些不同方面互相联系起来，为了帮助说明结构的普遍意义可能是什么情况，

值得先思考一下：“数学建筑学”（布尔巴基学派用语）的基础，是否具有“自然的”

性质，或者只能建立在公设化的形式基础上？这里我们已经可以在“自然数”指正整数

的意义上使用“自然（的）”这个术语了；正整数在数学上使用它们之前先已经构成，

是用从日常活动里所抽出来的运算构成的，这些运算，如早在原始社会里一对一的物物

交换中所使用的、或是儿童玩耍时使用的一一对应的关系，在坎托尔（Cantor）用来建

立第一个超穷基数以前，已经使用了几千年了。

人们可以惊奇地看到，儿童在发展过程中最初使用的一些运算，也就是从他加在客

体上的动作的普遍协调中直接取得的运算，正好可以分为三大范畴，划分的标准，根据：

运算的可逆性来自逆向性，象代数结构一样（在这个儿童的特殊情况下，是分类结构和

数的结构）；或运算的可逆性来自互反性，象次序结构一样（在这个特殊情况下，是序

列、序列对应关系、等等）；或者是运算组合系统不是以近似与差别为基础，而是来自

邻近性、连续性、和界限的规律，这就组成了一些初级的拓扑学结构（从心理发生学的

观点来看，这些结构先于矩阵结构和投影结构，与种种几何学的发展历史正好相反，但

却与理论推衍产生的顺序相符！）。

所以，这些事实似乎表明，早从智慧形成的相当原始阶段时起，布尔巴基学派研究

所得的那些母结构，在如果不说原始、自然还是非常初步的，并且从理论层次上说离开

这些母结构所能具有的普遍性和可能有的形式化程度还很远的形式下，就已经与智慧的

功能作用的必要协调，有相对应的关系了。其实，要证明刚才讨论的那些初始的运算在

事实上来自感知-运动（级）协调本身是不会很难的，在人类的婴儿身上和在黑猩猩身上

一样，这些协调的工具性动作肯定已经具有若干“结构”了。（可参见第四章）

但是，在阐明从逻辑观点看来上面这些见解意味着什么之前，我们先要看到，布尔

巴基学派的结构主义，在一个值得指出的潮流的影响之下，正在转化演变的过程之中。

因为这个潮流的确使人看到了发现——如果不说造成——新结构的方式。这就是要创立

“范畴”麦克莱恩[MacLane]、艾伦贝格[Eilenberg]等），也就是说要创立一个有若干

成分的类，其中包含这些成分所具有的各种函数，所以这个类带有多型性（morphismes)。

事实上，按照现在的词义，函数就是一个集合在另外一个集合上或在自身上的“应用”，

并导致建立各种形式的同型性或“多型性”。这差不多就等于说，在强调函数时，范畴

的重点不再是母结构，而是放在可以发现出结构来的、建立关系的那些程序本身上面。

这就又等于把新结构不是看成从先前的各种运算已达成的各种“存在”中引出来的，而

是从作为形成过程的这些运算本身里抽绎出来的。

因此，巴普特（S．Papert）在上面所说的范畴里看到的，更多地是为真正理解数学

家的运算而努力，而不是为了理解“一元化”数学的运算法的努力，这不是没有道理的。

这儿就是反映抽象的一个新的例子，说明这个反映抽象法的本质，不是来自客体，而是

来自加在这些客体上的那些动作（即使原先的客体已经是这样抽象得到的一个结果），

这些事实，对于结构构成的性质和方法而言，是很宝贵的。

• 真巧,前两天刚贴过他的著作