主题：考考你的文化素质（高难） -- 水西残梦

在回答第一问时我们能否用(a+a)^2=a+a来进行证明？回答是可以用，但不能直接用。

对于集合中任意两元素a,b(a,b∈R)，a+b不一定属于此集合，举个例子，R＇={1,3,6,7,9}，使a=1，b=1，则a+b不属于R＇，同理，在R中a+a有同样的风险。使我们避开这个风险并进而能使用(a+a)^2来进行证明的是题中另一个条件：R是一个环。环中任意两元素进行“+”、“*”操作是封闭的，也就是说经过“+”、“*”后所得到的值仍在R内（a,b∈R,a+b∈R ∧ a*b∈R）。环的这个性质保证了此题中a+a∈R，我们也就能够往下证明。

如果不给出上述的说明您的答案是不完整的。我最开始提出的答案也是不对的，想得太窄了，能用a+a+a表示的元素个数可以不只为2，“环中所有元素”是正确的。但我现在能想到的元素个数大于2的情况仍要以“2为域”做基础。学的那些数学课放了好几年了，啰嗦这些话很可能有错，欢迎您和河友不吝指出。谢谢您的耐心交流