主题：【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科

要证明 Pa = Pw23 Pw12 + （1-Pw23）Pw13 > Pb = 1-Pw21 = 1-P2/(P1 + P2 - P1 P2)。

对于固定的P1和P2，我们研究P3的取值范围∈(P2,1]，看看P3的取值对于不等式的左边有什么影响？

首先注意到Pa是两项的加权平均——是Pw12与Pw13这两项的加权平均，权重因子分别为Pw23与（1-Pw23）。

当P3增大，Pw23就减小（直观而言，2对3的决斗胜率，随着3的准头的增加而减小），Pw13也减小。

若Pw23减小，那就是说在Pa中，Pw12所占的权重（Pw23）会减小；而Pw13所占的权重（1-Pw23）会增大。

由于P3>P2，所以Pw13<Pw12（直观而言，都是在1首发的情况下，1对3的决斗胜率，比1对2的决斗胜率小）。

所以最终的结果是：Pa在减小（因为两项的平均值中，小的那项变小，而且其所占的份额还变大，于是把总的均值愈加拉小了）。

所以左端的下限在P3=1时达到，为：

Pa1 = P2 Pw12 + （1-P2）P1。（当P3=1时，Pw23=P2；Pw13=P1。）

下面要证的是：Pa1 > Pb。

喝口水先……