主题：【原创】Liptor的原罪以及为什么说辛普森还是去演动画片比较好 -- ducati

首先科普一下统计的常识，没有置信度的统计就是白搭。

还是拿总统选举的民意测验做例子。假设我们抽取1000人作为样本，样本10%投卤豆腐就着鸭梨(credit goes to 南寒)，90%投麦克哈克比。这个结果说明什么问题？

“不说明什么问题，你的样本是在西弗吉尼亚选的。你敢来纽约选，哈克比小样的往死里扁你。”

这就是朴素的置信度的概念——样本不随机，置信度就比随机的小多了。没有提供置信度的统计，我们现在知道，就是瞎掰。

那么置信度是什么概念呢？再简化一下例子：假设我们1000人是随机抽取。结果还是样本10%投卤豆腐就着鸭梨，90%投麦克哈克比。那我们就问了，这1000人能在多大程度上代表全美国1.6亿人？（sample vs. population）某人说：有95%的概率，全国人民投豆腐的不会超过12%，也不会小于8%。这就是置信度。你去看专业的民意测验，这个误差值是一定要给的。

置信度怎么算的呢？我给一个最简单的模型。

假设全国人民投豆腐的人占p，投克比的人占(1-p)。选票这样设计：投豆腐写1，投克比写0。我们抽样N人投票的总和是Z。那么这个未知的p，就可以用Z/N来估计。我们有

E(Z/N) = E(Z) / N = [p * N + (1 - p) * 0] / N = p

（铁手咱公式的事咋招啊？）

Var(Z/N) = Var(Z) / N ^ 2 =

N * [(1 - p) ^ 2 * p + p ^ 2 * (1 - p)] / N ^ 2 = p * (1 - p) / N

所以这个估计值的标准差就是

sqrt[p*(1-p)/N]

95%的置信区间，假设样本足够大，服从高斯分布，就是正负1.96倍标准差。一千人卤豆腐的区间就是正负1.9%。我刚才那正负百分之二瞎写的还挺准。如果按照辛普森的说法，我们增加四个变量，比如收入加三围，结果会如何呢？如果每个变量都是二元的，收入高/低，胸大/小，腰粗/细，屁股肥/瘦，那么1000人就分成16组，简单讲，每组人数是原来的1/16。假设我们细分以后，粗腰平胸大屁股的低收入群体投卤豆腐的噌一家伙变成60%多数了。问题上去是上去了，可置信区间变成12.2%。60%+-12.2%这种数据有什么意义呢？上下能差出三分之一强。这幸亏是60%。要是10%都不够减的。这还是二元变量。如果按ABCD罩杯分得话，那这统计的结果就更没法用了。

有人说了，那是你样本少。我统计了一亿个粗腰平胸大屁股的低收入者，90%都投卤豆腐就着鸭梨！！那我得说一句：牛逼！可是这也并没有产生悖论啊。就算全世界的女博士后90%都喜欢卤豆腐，又怎样呢？跟全美国人只有10%喜欢卤豆腐也完全没有矛盾哈。

结论：辛普森悖论大部分来说，是扯淡。统计一般数据都不够用的。再细分，得出结果也没有意义。小部分来讲，也没有什么悖不悖的。