主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi
家园 【原创】关于1 + 1/2 + 1/3 + ……的计算 关于1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ……的计算有很多方法，是微积分里的一个基本结果。不过，还有一个初等的办法可以看出这个和必定等于无穷大。
用反证法。如果1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ……是有限的，我们把这个有限数记为L，那么
L = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …… = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……)
有不同意的吗？很好，我们接着来！
先看第一个括号。因为1>1/2，1/3>1/4，1/5>1/6， ……，我们知道
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …… > 1/2 + 1/4 + 1/6 + ……
因此我们有
L = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) > (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) = 2 ×(1/2 + 1/4 + 1/6 + ……)
显然
1/2 + 1/4 + 1/6 + …… = 1/2 × (1 + 1/2 + 1/3 + ……) = L/2
所以我们得到了
L > 2 × L/2 = L
这时不可能的。所以L不能是有限的。
家园 是不是很怀念latex 呵呵
家园 就好像没有中文支持的时候谈唐诗
家园 【文摘】照例，轻松一下（１８禁） （没有什么关于素数的漫画了，讲一个流传已久的关于素数的笑话吧）
据说有一个数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一个大的间隙，一下子就蹦到了29……
家园 【原创】1.2.1 数数素数有多少之有很多篇 第一章 素数
第二节 数数素数有多少
第一段 有很多篇
上回书说到，作为乘法的基本元素，人们引进了素数，或者称为质数。素数就是不能写成其他自然数乘积的数。
既然有了素数，而且我们可以轻易的找出一大堆素数，诸如2，3，5，7，11，13，17，19……，一个典型的问题便是素数究竟有多少个。有无穷多个素数，还是只有有限多个素数？如果只有有限多个素数，那么到底有多少，又怎么能把它们全找出来呢？乍想起来，似乎答案是很自然的无穷多。可是，既然我们已经知道我们宇宙的年龄不是无穷大，宇宙的大小不是无穷大，也许素数的个数也不是无穷大？直觉和物理类比，哪一个更可靠？
幸好，在两千多年前的古希腊人们没有这样的困扰。伟大的爱因斯坦、哈勃、霍金和其它很多同学这时都还没有出生，于是一个伟大的数学家看准机会出生了。他就是欧几里德（Euclid）。那时候宇宙的年龄还是无穷大，宇宙的大小还是无穷大，所以没有理由怀疑素数的个数也是无穷大。在他那著名的《几何原本》（Elements）的第九章第20个命题中，他给出了一个巧妙的证明，这也是反证法最早的应用之一。
定理 素数有无穷多个。
证明 假设素数只有有限多个，那末我们可以把它们全乘起来再加一，得到一个新的（很大很大的）自然数N。一方面，我们知道N必然有一个素数因子（也许就是它本身）；另一方面，N又不能被任何素数整除，因为余数总是一。二者矛盾。因此素数必须有无穷多个。证毕。
在欧几里德之后，人们又提出了各种各样的几百个证明，可是欧几里德的证明仍然是最简单、在某种意义上也是最漂亮的。
现在数素数的问题似乎解决了，无穷多个嘛。无穷多就是无穷多，还有什么可说的？错！大错！大错而特错！咦，我还能加字儿！
下面我们课间休息十分钟。那个谁，把那张《十分钟的恋爱》给大家放一下，待会儿写听后感。
关键词(Tags): #素数，家园 疑问：把N个素数乘起来加1，肯定就是个素数么？ 定理 素数有无穷多个。
证明 假设素数只有有限多个，那末我们可以把它们全乘起来再加一，得到一个新的（很大很大的）自然数N。一方面，我们知道N必然有一个素数因子（也许就是它本身）；另一方面，N又不能被任何素数整除，因为余数总是一。二者矛盾。因此素数必须有无穷多个。证毕。
把已知的素数都乘起来加1,能不能产生一个素数？
如果能的话，找大素数不就简单了。
