主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰
家园 【讨论】趣味数学题 -- 有补充 在另一个网站上看到这么一个帖子
今天听到一个例子,很适合说明怎么叫概率推断,或者概率推断会有多反直观.比如新来了一家邻居,我知道该邻居家有两个孩子,但不知道任何关于这两个孩子的其他情况.
有一天我出门正看见新邻居带着一个6,7岁的小男孩回家.我们一打招呼,邻居介绍说,这孩子是他的儿子.
我心里默默推算,嗯,邻居家另一个孩子也是男孩的概率为三分之一(对,这不是笔误,三分之一,不是二分之一).
我又仔细端详了一下这个孩子,嗯,是个双眼皮小男孩,很可爱.我心里默默更新了我的估计,邻居家另一个孩子也是男孩的概率为七分之三.
这时屋里传出一声婴儿啼哭,邻居赶忙说,不聊了,我另一个孩子哭了,我得赶紧进屋了.和邻居告别后,我再次更新我的分析,邻居家另一个孩子也是男孩的概率为二分之一.
您能想明白这里面的道理么?
这位老兄说的神秘，其实第一个例子就算错了。邻居家有两个孩子，只知道一个孩子性别的情况下，另一个孩子的性别不论男女其实仍然是二分之一，不是文中所说的三分之一（当然，作者到最后终于纠正过来了。）
这里，作者有意无意得把第二个孩子的性别搞成了和第一个孩子性别的强相关。也就是说，第一个孩子的性别会影响到第二个孩子。其实呢，这和掷硬币的概率是一样的。每次投掷硬币都是独立的。不论哪一面朝上都是二分之一的几率，并不受其他投掷的影响（这里不考虑硬币立在平面上的情况）。一对夫妻，第一胎是男的，第二胎生女儿的机率不会上升到三分之二，仍然是二分之一。
这种貌似有理的“统计学”，也经常会在各种正式研究文章中看到。尤其是在经济学论文里看到。归根到底的原因就是怎样才算“强相关”，各派有不同的看法。根子上有分歧，自然计算大为不同。
欢迎各位作题家指正。
通宝推：假设,普鲁托,自由呼吸F0,孟词宗,纳米小洞儿,陈王奋起,
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)作者 对本帖的 补充(1)家园 【原创】说一下等效命题 发了这个帖子后，原帖作者来了，还引来不少做题家朋友一起烧脑，真是太爽了。
鉴于不少人的回帖中各类错误概念甚多，故不一一作答，这里只补充几个等效的命题供做题家们思考。
1. 一对夫妻生了一个孩子，老婆怀着第二个。两人讨论第二个孩子的性别。老公认为第一个是男孩，所以第二个是女孩的几率上升到三分之二？请问对吗？以此类推，老婆怀了第十胎，前面九个都是男孩，那么第十个生女儿的几率多大？
2.投掷硬币，已知共要投掷两次。已知投掷一次是面朝上，问另一次投掷面朝上的几率是多少？是三分之一吗？同理，共要投掷十次，已投九次都是面朝上，问第十次投掷时面朝上的几率是多少？
3. 买六合彩，共买了一万期，每期买一张彩票，9999期都输了，问第一万期的中奖几率是否上升到铁定中奖？
原作者和其他几位理解错误的地方是把一系列的独立事件当作一个整体来处理。自然就会得出荒谬的结论。上面三个例子中，每一个事件（event）都是独立的，是不受同一系列中其他事件影响的。
系列可以是一个整体，也可以是独立事件组成的集合。独立事件的集合可以在整体上对外表现出统计上的概率。例如投掷一百万次硬币，面和字朝上的分布约为各百分之五十。但是具体到每一个独立事件，就不能根据集合中其他独立事件来推定该独立事件的实际效果。
用一个不太恰当的比喻，宏观状态下的物体运动有规律是可测的，但组成物体的微观粒子的个体运动状态是测不准的。而连接这两者的桥梁是统计。
通宝推：孟词宗,陈王奋起,审度,家园 其实原题是混淆概念，应该算诡辩 问的是性别，但是算概率时用的是性别和长幼组合的概率。性别和长幼混在一起了。
因为只与性别相关的组合是共三种可能，男男、男女、女女。那看到一个男孩后，就只剩两种组合，男女和男男。为什么要加上长幼呢，这就是诡辩了。或者说故作惊人之语。再多加点与性别无关的条件概率还可以更低😄
家园 因为不加长幼就不满足等可能条件 如果只考虑”男男、男女、女女“，根据”不充分推理原则“，每个组合的可能性为1/3，这个概率一般认为是错误的，因为违反常识。而如果不用这个原则，则每种组合的概率是未知的。
古典概型只能处理”等可能“的事件，所以我们做题的时候经常看到”均匀“的硬币，”均匀“的骰子等，就是这个原因。
其实这个事件集在下面我也用过，但必须说明的是，这个理解起来是很困难的。如果承认”男男、男女、女女“各1/3，则之前的符合大多数人想象的假设如“生男孩女孩的概率各是1/2”，“两个孩子的性别是独立的”等则不再成立。而会代之以更加不可思议的“孩子的性别是可叠加的”，“两个孩子的长幼是不可识别的”等等只在微观才会出现的现象。
家园 三分之一和二分之一你搞迷糊了吧 对于一个组合来说，别说三分之一，三亿分之一也不违反常识啊。加上单眼皮，加上年龄加上皮肤颜色，可以一直加下去啊。例如，如果问那个孩子是单眼皮5岁黑色皮肤并且是哥哥的概率是多少。是不是概率更小了。
可一个组合是多少的概率与性别只有二分之一的概率怎么可能有冲突呢？
没看明白你的逻辑
家园 呵呵这就像个投票贴 肯定是二分之一。
首先，两个孩子的性别互相不独立，才应该用条件概率。两人性别可能互相不独立吗？有，比如这家人其实重男轻女或重女轻男。但在本题中，显然大家都同意无此假设，两个孩子的性别是彼此独立事件。至于那种1/3的障眼法，我试试这样说是否足够明白：
我两个同事各有一个孩子。同事A家是男孩，同事B说，你猜我家是男孩女孩？
我想这个问题大家不会猜同事B家三分之一可能是男孩三分之二是女孩吧？同事A家孩子的性别根本不会影响同事B家。
相信大家也意识到，两家各有一个孩子和一家有两个孩子，对这个概率问题其实是一样的。
家园 不是同一个问题 假如已知同事B只有一个孩子，问男孩概率是多少，则为1/2，毫无疑问。
现在的问题并非这样，可以拆分成两步，便于理解：
第一步：已知两个同事，各自有一个孩子，则两个孩子都是男孩的概率有多少。答案是1/4，估计没人有意见。
第二步，已知同事A的是男孩，现在两个孩子都是男孩的概率有多少？
你说障眼法是对的，因为问的其实是在不同条件下，两个都是男孩的概率。并非问某一孩子的性别概率。