主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包
家园 不是伯努利先发现的？ The first references to the constant were published in 1618 in the table of an appendix of a work on logarithms by John Napier.[3] However, this did not contain the constant itself, but simply a list of logarithms calculated from the constant. It is assumed that the table was written by William Oughtred. The "discovery" of the constant itself is credited to Jacob Bernoulli, who attempted to find the value of the following expression (which is in fact e):
lim(1+1/n)^n
家园 我完全同意，说伯努利发现的非常合理 可以想象的实际情况我估计大概是Napier称为推广对数中的重要人物，他开始并没有固定的对数底，有人建议以10为底造对数表（要是我也会先选10，或者2？），伯努利稍晚一些，提出这个极限（我估计这是在尝试对数表的优化时产生的），不过他只是估计这个数是在2和3之间，最终伯努利的学生欧勒把对数定义为指数，给出了指数函数的公式，并且发现了e的其他的重要的作用，而且他据说也是最早以e为底的计算对数的（1728年），不过他没有发表，至少古今数学思想上这么说的。反正最终这个功劳是被欧勒摘牌了，其实按说他搞了那么多东西，也不缺这个，不过现在这个e居然也是Euler的首字母，可见大家还是公认Euler在这个概念上的首要贡献。
家园 圆周率等数学常数其实反映了我们这个宇宙的一个基本特征 严格地说是我们所在的时空局部的基本特征。别再追问这个基本特征究竟是什么，因为我也不知道
物理学的观察结果告诉我们，宇宙是平坦的，所以该基本特征实际上适用整个宇宙。直觉告诉我，对数由该基本特征衍生而来。
这个基本特征不是一成不变。据说宇宙诞生初期的圆周率跟现在就不大一样，很远的将来也可能有变化。
家园 你这半吊子的广义相对论，呵呵～ \pi是数学常数，是欧式空间中圆周与直径之比。
根据广义相对论，由于引力的存在，我们生活的时空并非“平直”的，也就是说，不是欧式空间（而这一点在宇宙早期以及黑洞附近表现更为明显），因而此时的圆周与直径之比不等于\pi。而非欧空间在很小的局部上，是可以无限接近于欧式空间的，因此有你开头的说法。
打个比方吧，假如你是一只生活在地球仪上的二维蚂蚁，在地上画了一个很圆的圆，并在这个二维球面上把“直径”画出来。这时，由于这条“直径”事实上是弯的，因此，你拿尺子量出来的“圆周率”便不等于\pi。画的圆越大，差别越明显；相反，圆越小，这个比例便越接近于\pi。
家园 圆周率涉及到几何同宇宙曲率有关系 但是自然对数来自数学分析，恐怕和宇宙关系不大吧？
俺的猜测
家园 宇宙是啥样都不影响圆周率 圆周率就是在假设宇宙平滑 没有空间扭曲的情况下推导的
家园 啊？这事我还真没听说过，圆周率还会变化吗？想都没想到过呢 有机会一定好好了解了解
家园 欧拉常数e的发现和其重要性都要由数学分析来揭示 e^x对x的导数仍旧是它自己，这点就足以说明它的重要性了。当我们把e^x，sin(x)，cos(x)作泰勒展开时，发现它们之间的关系是那么亲密，e^x就是后面这两个三角函数的合体，于是，欧拉公式会把e和pi联系起来也就不是那么神秘了，因为三角函数跟pi自然是关系很大。但是这些事情都要数学分析建立以后才看得出，在那之前人类对e没有认识也是很正常的事情。
家园 同意，在分析产生后，e的重要性会越发的明显 不过在百度上查，好像最开始是在编对数表的时候欧勒为了能使取数比较平均才产生的这么一个极限数。坦白讲我自己认为最自然的发现方式应该是在发现微积分以后，接着检查某些简单函数，自然就会触及到1/x和1/nx，在发现它是个对数函数后再通过些简单的插值计算，估计就能知道这个int(1/x) 的对数函数的底应该是个挺特殊的数，以及它的大概范围了，再看三角函数和指数函数对数函数的关系，这个e就会越来越重要了。按说伯努利莱布尼茨争论负数和复数的对数是否存在的时候估计就应该产生这个概念了，尽管那时候函数的概念还很原始。只可惜我当时学高等数学的时候一上来就被这个极限给搞蒙了，原本特别自然的数，让我觉得它的出现特别的不自然，怎么就突然就冒出这个概念来了，这事曾经困扰了我很长时间。后来搞明白后我还曾经一度觉得数学分析的教法不好，不够直观和富有启发性，直到有一天发现原来当初欧勒写无穷小分析引论的时候就直接这么定义指数函数了，看来几百年间大家都是多少按这个顺序学习数学的。看来我开始没弄懂还是我太笨了，呵呵。
家园 pi是定义出来的，而那个无限不循环的数字是计算出来的 就好像1/3是被定义出来的（从自然数出发构造有理数），但是那个循环小数0.3333...是计算出来的。
pi被定义为圆周长和直径的比（在作这样的定义之前，当然得先证明，所有的圆的周长和直径的比都是一样的），但这个比具体是什么，那就得计算了，比如用计算圆内接正n边形周长的方法，让n趋向于无穷取极限，但也有很多其他的方法，比如用一些三角函数的无穷展开。
同样地，欧拉常数e也一样，它也是先被定义出来的，比如说，它可以被定义为(1+1/n)^n当n趋向于无穷时的极限。或者定义成无穷级数1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+....的和。这是它的定义，而且我们可以证明这个极限或者这个无穷和是存在的，有限的，但是暂时不知道它具体是多少。要知道具体是多少，就得计算。
所以要区别定义和计算两件事。pi并不是“个位是3，小数点后第一位是1，第二位是4……”这样定义出来的，这只是计算结果。
家园 数学闲话（二）——拓扑(2)流形 再添一节拓扑方面的东西：流形。
流形是一种特别的拓扑空间，它的每一个足够小的局部，看起来都象是一个欧几里德空间的一个局部。欧几里德空间就是我们平时熟悉的直线，平面或者三维空间，或者更高维的平直空间。欧几里德空间的性质是再好没有了。
如今除了地平协会的顽固分子们，大家都知道大地是个球，我们站着的这个地面，如果忽略其上面（从地球大小的尺度来说）不起眼的坑坑洼洼，是一个球面。拿张中国出版的世界地图来看，会把中国放在正中，非洲和南美处于最左和最右端，但其实它们只不过隔了一条狭长的太平洋，格陵兰岛则一大块处于右上角，一小半处于左上角，其实这两块是紧连的一个大岛。如果是欧洲出版的世界地图，那就又是另外的样子，格陵兰岛成一整块了，但轮到其实处于狭窄的白令海峡两侧的西伯利亚和阿拉斯加分处地图的左右上角。你不可能在一张平面的纸上很好地显示地球上所有地区之间的相邻关系，总有一些其实靠在一起的地方，在平面地图上被画成离得很远。要正确地展示地球上所有地区之间的相邻关系，同样是球面的地球仪是一个好得多的选择。
外链图片需谨慎，可能会被源头改但是这不等于说无论什么地图都得在球面上画。为了画出某个城市的地图，画在平面的纸上足矣，它上面的各个区域之间的相邻关系都是实际的相邻关系。地球上任何一个面积相对较小的区域的地图，都可以画在一张平面的纸上，一张纸可以看作是一个平面的一个局部。
这样我们可以看出，虽然从整体上来看，球面和平面是大不一样的，但是从局部来看，球面的局部和平面的局部却差不多。轮胎面也一样，从整体来看，轮胎面和球面以及平面都很不一样，但是从局部来看，轮胎面的局部和平面的局部也差不多。所以球面和轮胎面都是流形的例子。轮胎面和球面的局部都和平面也就是2维欧氏空间的局部差不多，所以它们都是2维流形。平面本身当然也是2维流形。2维流形的一个通俗名字当然就是曲面。
1维流形（通俗名字拿手指头也想得出来，是曲线）的例子是圆周。圆周的每个局部看上去都象是直线的一部分，但是整体看起来却和直线是不一样的。直线也是1维流形。其实1维的（连通的）流形就只有这两种：圆周和直线。两个不相交的圆周算不算1维流形？也算，但是因为两个圆周不连在一起，可以由连通的流形简单地组合出来，我们对它们不是很感兴趣。
8字形，或者说一条自己和自己相交了的曲线是不是流形？不是。虽然8字形的大部分的局部都和直线差不多，但是如果我们看看那个交点和它周围的情况，我们会发现那个地方和一条直线的局部不一样，到是和两条直线相交的交点处的局部差不多。所以这就不是流形了，那个交点被称为一个奇点。
高于2维的流形当然也存在，局部和3维欧几里德空间差不多的是3维流形，局部和4维欧几里德空间差不多的是4维流形，……，这些流形就比较难以直观想象了，但是照样还是可以定义和研究。最简单的高维流形，一种就是高维的欧几里德空间本身，一种是高维球面。参考（2维的）球面在三维欧几里德空间中的定义方法，我们可以定义3维的球面：4维的（实）欧几里德空间中的每点由四个实数组成的坐标来表示：(w,x,y,z)，如果我们考虑这个四维空间中所有满足w^2+x^2+y^2+z^2=1的那些点，这些点就形成了3维球面。类似地可以定义更高维的球面。
象球面以及轮胎面这样的流形，和象平面这样的流形比起来有一个特点，它们不像平面那样一摊开来就无边无际的，它们看上去处在一个有限的范围里。球面以及轮胎面这样的流形，还有一个特点就是它们没有边界（平面也没有边界，但是半平面就有边界，莫比乌斯带也有边界）。这样的处在一个有限范围内，又没有边界的流形，是具有非常好性质的流形，数学家们叫它们是“紧的，无边的”流形。“紧”又叫“紧致”，是指某种意义上的有限。拓扑学里一说“紧”，总是和有限有关系，也有很多种似“紧”不“紧”的概念，比如预紧，仿紧或伪紧，列紧，可数紧等等，学起来有点让人头痛。不过就是一条，“紧”总意味着某种有限。“紧的，无边的”合起来，又叫“封闭的”。
对在有限范围内，又没有边界的这些行话叫“封闭的”流形，数学家们研究得比较多。前面在数学闲话（二）——拓扑(1)拓扑空间这节中就提到过，数学家们对于2维的这类流形的分类已经了如指掌了，就是用“亏格”来分。不过这里说得不是很严格，因为如果对照上一节我说的关于按亏格分类的叙述，那里还有另一个条件是“有向”的。这个条件也很有意思，所谓有向，就是作为曲面，有两个方向，比如球面有里面外面之分，轮胎面也有里面外面之分。在轮胎外面爬的蚂蚁，不把轮胎咬出个洞来，是爬不到里面去的。但是同样也有无向的曲面，最著名的就是莫比乌斯带了，只有一个面。我想现在在读这篇东西的朋友大概都知道什么是莫比乌斯带，所以就不详细说了。
外链图片需谨慎，可能会被源头改
外链图片需谨慎，可能会被源头改但是莫比乌斯带是有边的，不过也许大家还知道克莱因瓶，这就是一个“封闭的”却“无向”的2维流形的例子。
外链图片需谨慎，可能会被源头改不管是有向的还是无向的，2维封闭流形（曲面）的分类数学家都搞得很清楚。有向的用亏格，至于无向的就复杂点，但是也没问题。但是高维的封闭流形的分类，就困难得一塌糊涂（在某种意义下我们甚至可以说，这个问题是不可解决的）。关于高维的流形的分类，我会在讲代数结构的“庞加莱猜想中的群”一节中再多讲一些。
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