主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
家园 好题目 不知楼主看过阿卡托斯的《证明与反驳》没？
通宝怎么转账啊？
另，给出一个欧拉公式的应用，河里似乎有过几次
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家园 我去图书馆找到了《证明与反驳》 Imre Lakatos ，Proofs and Refutations
稍微看了一下，很不错，也向河友们推荐。
才发现欧拉公式有那么丰富的历史，呵呵，现在大家讨论得热烈也就可以理解了。
这个题引起我的注意是我以前看波利亚（Polya）的《数学与似真推理》，里面以欧拉公式为例子。
后来又在波利亚的《怎样解题》中看到。
总之确实是个很经典的例子。
对了，上面提到的三本书也都是极好的，深入浅出，适合任何对数学有兴趣的朋友看。
家园 握手，期待你的好文 这本书给我很好的印象是感觉他非常像伽利略的《对话》，注释也很详尽
第一次看的版本是接近20年前的译本，
外链图片需谨慎，可能会被源头改最近复旦出了新版
外链图片需谨慎，可能会被源头改你推荐的polya的书也都看过，都很好
家园 这就是所谓启发式教育 书里的一个个证明，反驳，修改（补漏洞），再反驳，其实就是数学发展史，都是有名有姓有来头的。
这样写的书，比纯粹讲故事的书能让人学到更多，可以让读者真正理解科学发展的脉络，也真正理解一项伟大工作背后的曲折。
我出的这个题本来是想让大家（包括自己）放松一下。不过现在讨论得越来越深入，如果参与面更广更深的话，也许我可以就此小结一下，引申出一些数学思想。
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家园 好像可以送通宝祝福吧 实在不行直接找铁老大，：）
那本书我没看过，不过这个题非常非常经典，也不算难，最重要的是它特别有料。
一路挖下去的话，先有高斯-邦内公式，然后会出现陈省身，最后会通往阿蒂亚-辛格指标定理这个二十世纪最了不起的数学成就之一。
不过我实在功力不够，不知道有谁能写一写。
花已送上。
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家园 好帖，花一个 好帖，花一个
PS。窃以为欧拉公式的这种形式更具美感
exp(i*theta)=cos(theta)+i*sin(theta)
也很有用，除了它是复变函数基础外，还可以用来推导三角函数公式。俺考试的时候从来不记三角公式的和差化积积化和差之类，都是直接从欧拉公式开始推倒，最多一分钟搞定。
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家园 【原创】勾股定理（四）--- 古怪的几何 话说这边儿小毛孩子正和老学霸掐架，四周里里外外倒围了不少群众，可是看戏的多，丢花儿的少。花开二朵，各表一枝，咱们且由他们掐着，回头来看看这非欧几何究竟长什么模样。
其实早在一千多年前，人们就开始研究另一种几何学 ------ 球面几何学。球面上当然没有“直线”，取而代之的是“大圆” ------ 球面上以球心为圆心的的圆。“线段”则是大圆的圆弧。过球上任意不是对径点的两点，都有唯一的大圆把它们连起来。类似的，我们还可以定义两条大圆弧的夹角为相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意两个大圆都有两个交点，球面几何并不在欧式几何的体系内（不符合前四个公理）。
球面几何是非常有用的几何，天上（天文），地上（地理）都用得着它。要是没有球面几何学，大航海时代恐怕很难到来，谁让地球是圆的呢？
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外链图片需谨慎，可能会被源头改人们没想到的是，只要稍作一点改动，球面几何就可以转化成另一种不同的非欧几何 ------ 椭圆几何。在这种几何中，过直线外一点的所有直线都与原来的直线相交。历史有时候真会和人开玩笑，我们千辛万苦寻找的东西，其实在很早就摆在我们身边，却不为人所知。这也许就是人们常说的“灯下黑”吧。
我们把球面几何和双曲几何放在一起看，有不少相似的“奇怪”性质。
球面几何里，（三条大圆弧构成的）三角形的内角和总大于180度。我们有
外链图片需谨慎，可能会被源头改其中S是三角形面积，R是圆球半径，
外链图片需谨慎，可能会被源头改是三角形内角。也就是说，内角和与180度的差与面积成正比，与半径平方成反比。
外链图片需谨慎，可能会被源头改而在双曲几何里，三角形的内角和总小于180度。我们有
外链图片需谨慎，可能会被源头改其中S是三角形面积，c是某个正的常数，
外链图片需谨慎，可能会被源头改是三角形内角。内角和与180度的差还是与面积成正比。
外链图片需谨慎，可能会被源头改从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它越像欧氏几何。今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比起来太小太小了。（各位有没有想起狭义相对论？）
再比如说我们已经遗忘很久的勾股定理。前面提到过，勾股定理与第五公设是等价的。也就是说，勾股定理正是欧式几何的“基石”之一。非欧几何里不再成立勾股定理。但直角三角形的三边a,b,c（斜边）还是有些特殊的关系。
球面几何中：Cos(a/R)Cos(b/R) = Cos(c/R)
双曲几何中：Cosh(a)Cosh(b) = Cosh(c)
不过，这还不是勾股定理最后一次出现，后面的篇章中，我们会看到勾股定理更深刻的意义。
类似的古怪公式不少，我就不一一列举了。
科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承认的过程。牛顿的无穷小量也好，虚数也好，都在很长的时间里被人们视为“幽灵”。罗巴切夫斯基发现了新的几何后，自己也觉得这个东西实在太古怪。他把这种几何称为“想象的几何”。要人们接受这种想象的几何实在不容易。罗巴切夫斯基试图将双曲几何和人们熟悉的球面几何联系起来，说服人们双曲几何只是球面几何的一个兄弟。他的想法是正确的，但他并未完全成功。
我们的主人公们虽然发现了好东西，可它实在古怪，令人难以相信。伟大的理论还需要优秀的推销员。爱因斯坦碰上了爱丁顿爵士（Sir Arthur Stanley Eddington），让广义相对论少受了几年委屈。若干年后，非欧几何终于迎来了一位好推销员 ------ 意大利数学家贝尔特拉米（Eugene Beltrami）。
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