主题：【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

其实分形的维数计算有很多种方法，除了豪斯多夫维数和记盒维数以外，还有信息维数和相关维数。不过我们现在给一个最简单的。虽然可以计算的对象限制在严格自相似（就是局部和整体完全一样）的分形图形，不过这样算出来的维数和其他方法的结果是一样的。

假设我们把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在尺度上都是原来图形的m分之一，那么这个图形的维数就是log(N)/log(m)。现在我们来算一下科赫曲线的维数：

从我们构造科赫曲线的方法看起来，我们把科赫曲线可以分成四个部分，而每一部分都是原来的三分之一大，所以N=4，m=3，那么科赫曲线的维数就是log(4)/log(3)=1.26。而科赫曲线是一条没有宽度的线，其拓扑维数是一维。所以符合分形的定义。

现在我们再来看几个经典的分形图形。

我们从先最低的维数说起，这就是康托三分集。我们可以用同样的方法，把康托三分集分成两部分，而每一部分还是原来的三分之一，所以有N=2，m=3，所以计算出来的维数是log(2)/log(3)=0.63。这个维数介于点和线之间，而康托三分集是由点构成的，拓扑维数是零维。

现在把视线放到更一层的维数上，我们就得到了谢尔宾斯基地毯。

构造的方法是，把一个正方形分成相等的九份，去掉中间的一份。然后对剩下的八个小正方形照此办理，一直到无穷。这样得到的图形的维数是1.89。要注意的是，在这里虽然每一个小正方形的面积是原来的九分之一，但是在线性尺度上，只缩小了三分之一，所以m=3。如果我们穿过正方形的中心用一条水平的直线来截这块地毯，就可以发现截出来的“断面”正好是康托三分集。

再把维数提高一层，就可以得到谢尔宾斯基海绵，也是我们在开头贴过的一张图。

从图上可以看出来海绵的构造方法：把一个立方体分成二十七个相同的小立方体，去掉每一个面上中间的小立方体和大立方体正中间的小立方体。如果我们看谢尔宾斯基海绵的每一个面，就可以发现它都是谢尔宾斯基地毯。这个海绵的分形维数是2.73。

闲话两句，这个叫谢尔宾斯基的，跟豪斯多夫生活在差不多同一个时代，是个波兰人。波兰似乎在欧洲的历史上总是处于弱小的地位，在列强的环绕下，多次惨遭被瓜分的命运。从来没有过称霸欧洲的历史。不过波兰也是个出人才的地方，哥白尼，肖邦还有居里夫人（入了法国籍），都是波兰人。

给出后面几章的题目预告，分形涉及到的东西零星繁杂，有遗漏的地方势肯定的。我想到的部分，我尽量把它们说清楚。欢迎大家提意见。

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