主题：【文摘】经典悖论（上） -- 天地无用

　古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求

知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题

需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

　　本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三

个部份。这是第一部份：

由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

（一）由自指引发的悖论

　　以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就

会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。

１－１ 谎言者悖论

　　公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：

“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的

来源。

　　《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常

说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，

但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。

　　人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：

１－２ “我在说谎”

　　如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如

果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：

１－３ “这句话是错的”

　　这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则

推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的

表达。

　　哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我

的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个

学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有

些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中

一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

　　他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：

‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指

他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”

（同上）

　　罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命

题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿

此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这

一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）

　　《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使

用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发

表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地

解决这个悖论并不容易。

　　接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“

它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比

较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但

是在集合论里，问题并不这么简单。

１－４ 理发师悖论

　　在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的

人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。

　　这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人

。有言在先，他应该给自己理发。

　　反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己

理发的人理发，他不能给自己理发。

　　因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素

在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有

故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

１－５ 集合论悖论

　　“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”

　　人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应

属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。

　　继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt

Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十

九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指

出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的

命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；

罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

１－６ 书目悖论

　　一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名

的书。那么它列不列出自己的书名？

　　这个悖论与理发师悖论基本一致。

１－７ 苏格拉底悖论

　　有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０

－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家

相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是

他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普

洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说

得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。

　　苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”

　　这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不

知道。古代中国也有一个类似的例子：

１－７ “言尽悖”

　　这是《庄子?齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄

子的这个言难道就不悖吗？我们常说：

１－７ “世界上没有绝对的真理”

　　我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

１－８ “荒谬的真实”

　　有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一

种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意

思是“多想一想”。

　　这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有

没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。

（二）引进无限带来的悖论

　　《墨子?经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”

如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。

２－１ 阿基里斯悖论

　　稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些

著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一

个。

　　阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里

斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那

一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不

上乌龟。

　　方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种

不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为Ｓ，

速度分别为Ｖ１和Ｖ２。当时间Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）时，阿基里斯就赶上了

乌龟。

　　但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这

个时间为Ｔ＇。对于任何Ｔ＇，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。

关键是这个Ｔ＇无法度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以后的时间。

２－２ 二分法悖论

　　这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先

到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无

穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了Ｄ。

　　这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。

　　芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动

，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上

了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺

骗”。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。

　　他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了

一个类似的运动佯谬：

２－３ “飞矢不动”

　　在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个

位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或

者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如：

２－４ “飞鸟之景，未尝动也”

　　这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推

理和不可回避的实事相冲突。

　　德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝

诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完

全合乎事实，但为什么“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是

一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与

现实的矛盾。

　　尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果

无限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有

飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。

　　换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也

没有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起

的非一的幻象。下面是尼采的分析：

　　假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定

的、永恒的。这是一个荒谬的观念！

　　假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空

间。又是一个荒谬的观点！

　　假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间

必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个

荒谬的观念！

　　尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观

世界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空

间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果

有绝对的多样性，就不会有统一性。

　　事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得

到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，

但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，

法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进

一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解

释。

　　可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动

佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发

生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、

象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。

２－５ “一尺之捶，日取其半，万世不竭”

　　这是《庄子?天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无

限的概念。

　　战国名家宋国人惠施（约公元前３７０－前３１０）曾任梁国的宰相，论辩

奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只

能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。

　　惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现

存与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“

犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，

都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很

有影响。

　　毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八

日，他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子

可分，电子也可分。”又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。

‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭

就没有科学了。”

　　有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，一九六

四年八月同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等

等，都提到这句话。

２－６ “１厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”

　　多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德

国数学家康托尔（１８４５－１９１８）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：

一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。

由于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点

都“一样多”。

　　然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到

一八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集

合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”

　　同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，

以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学

家们进行了不懈地探讨。

　　例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考

察》，这本书以罗素的《数学原理》（１９０３）为蓝本的，试图完善逻辑和数

学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的ＩＦ（Independence-Friendly First

-Order Logic）逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集

合论作为数学理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引

起一场逻辑和数学基础的革命？我们还将拭目以待。

• 【科普】
• 你反推的方法好像有问题