主题：【原创】自动控制的故事（一）（完） -- 晨枫

最速控制问题是较早的最优控制问题，它提供了一个很有趣的思路，但这颗树上开花结果不多。相比之下，最优控制的另外一支枝繁叶茂，有生气得多了。这一支就是线型二次型最优控制（linear quadratic control）。数学是有趣的，但数学也是盲目的。在数学上，最优化问题就是一个在曲面上寻找凸点的问题，只要你能把一个物理问题表述成一个曲面，数学是不理会姓无姓资的。既然如此，控制偏差的平方在时间上的累积就是很自然的选择，二次型就是平方在线性代数里的说法。线型系统的偏差平方有很好的性质，这山峰是一个馒头山，没有悬崖峭壁，没有沟坎，容易爬；一山只有一峰，不用担心找错地方。不过这山峰不能只包含控制偏差，还要包含控制量，原因有三个：

1、如果不包括控制量，那最优控制的解是没有意义的，因为无穷大的控制量可以使累计平方偏差为最小，但无穷大的控制量是不现实的。

2、控制量的大小通常和能量、物料的消耗连在一起，实际控制问题一般是“在最小能量、物料消耗小达到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同时包含控制偏差和控制量是很自然的。

3、系统模型总是有误差的，误差“总是”在高频、大幅度控制作用下最突出，所以为了减低系统对模型误差的敏感性，也有必要限制控制量的大小。

所以线性二次型最优控制的“目标函数”（也就是定义山峰形状的数学表述）是一个控制偏差和控制量各自平方的加权和的积分。积分当然就是“在时间上的累积”了，加权和其实就是在控制偏差的平方项和控制量的平方相前分别乘以比例因子，然后再相加。两个比例因子的相对大小决定了谁更重要。运用矩阵微分和线型代数工具，不难导出线性二次型控制律—一个基本的状态反馈控制律！只是反馈增益矩阵是按最优化的要求计算出来的。

线型二次型最优控制开创了一整个新的控制领域，很快从状态空间走出来，进入其他领域，子孙繁衍，人丁兴旺。这一支是当今最优控制在应用中的主体。

线性二次型控制具有各种各样的优点，但是，线性二次型没有回答一个最基本的控制问题：这个闭环系统是不是稳定。这里，我们的饱受牵记的李亚普诺夫同志出场了。李亚普诺夫也是一个脑子搭错筋的人，一百多年前，玩微分方程玩出了瘾，整出两个稳定性（或者叫收敛性）的定理，前一个没有什么太了不起的，把非线性系统线性化，就是把一根曲线用很多一小段、一小段的直线近似，然后按直线来分析。后一个就有点邪门了。老李琢磨出一个定理，说是对于任意一个系统，如果能找到一个自我耗散的能量函数（数学说法是正定函数），也就是其数值永远为正，但随时间渐进地趋向零，或者说这个能量函数对时间的导数永远为负，那这个系统就是稳定的。据说定理的证明是一个天才的杰作，我等凡人只有频频点头的份。不过想想也对，系统的能量耗散没了，系统不也就安分下来了吗？当然就稳定喽。

李亚普诺夫比卡尔曼还要数学家，他的定理只给出“如果存在……就……”，怎么找这个自我耗散的能量函数他没说，这个函数一般是什么样他也没说。这难不倒搞自动控制的广大革命群众。不是要正定函数吗？不是没有限制什么形式的正定函数吗？那就用控制偏差的平方吧。说干就干，但是干着干着，好玩的事情出现了，对偏差平方（或二次型）的求导，导出了和线性二次型最优控制推导过程中同样出现的一个所谓黎卡蒂方程（Riccati equation），感情这是殊途同归呀。换句话说，线性二次型控制总是稳定的。这是线性二次型控制的一个重要贡献：把最优性和稳定性连到一起。

再扯一句李亚普诺夫，他的第二个定理非常威猛，但是有点像一个奇形怪状的大锤，到现在人们还在找合适的钉子，好用这把大锤砸几下。线性二次型控制是已知的仅有的几个钉子之一，另一个是变结构控制，也可以用李亚普诺夫方法，这是题外话了。