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主题:【原创】简单而深奥的博彩问题:1.为什么久赌必输? -- 陈经

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家园 在概率论里这个问题叫做Gambler's Ruin

这个问题是这样定义的。假设每次赌博赌本是1,赌客赢1块钱的概率是p,输一块钱的概率是1-p。赌客的初始资金是a,他的目标是达到c。a,c是整数。c>a>0。如果赌客的资金变成0或c,赌博过程结束。赌客的最终资金是c的概率P是多少呢?

q=1-p。r=q/p

答案:如果p<>0.5,P=(r^a-1)/(r^c-1)

如果p=0.5,P=a/c。

(证明见关于Markov Chains的书,或者高级一点的概率论教材。)

p=0.5的结果非常符合我们的直觉。假设两个赌徒A,B的初始资金分别是M和N。赌博在他们两个人之间进行。那么根据这个公式,赌徒A最终获胜的概率是M/(M+N)。赌徒B获胜的概率是N/(M+N)。

定义赌徒输光的概率为S=1-P。当c趋近于无穷,S趋近于

1,如果p<=0.5

r^a,如果p>0.5

p小于等于0.5的情况被称为Gambler's Ruin,也就是你所说的久赌必输。

以上的讨论假设每次赌博的赌本限定为1,如果我们允许每次赌本(假设为Wi)变化的话,会得到很有意思的结果。

假设赌徒的目标是赢1块钱,他采取这样一个策略:

W1=1

W2=2,如果第一轮输了。否则的话,W2=W3=W4=....=0。

...

Wn=2^(n-1),如果前面全输了。否则的话,Wn=W(n+1)=...=0

很容易可以证明,如果p>0,赌徒的赌本是无穷的话,P=1。

这是一个非常惊人的结果,因为这里我们假设p可以取任何正数。这个结果告诉我们即使p非常小,只要有无穷的资金,就永远可以赢钱。这个违反我们直觉的结果成立的原因在于无穷资金的假设。在现实生活中,无穷大的资金是不存在的。一个很大很大的数同无穷大有着本质的区别。事实上,如果初始资金a<无穷,无论a是多么大的数,上面的结果都是不成立的。

(Measure Theory中有个Dominated Convergence Theorem,a等于无穷导致Wn可取的值趋近于无穷大,违反了这个定理的假设,因此 E(lim(fn))<>lim(E(fn)))

回到你涉及的问题。你假设赌场的赌本是无穷大是不成立的。如果赌客的赌本是M,赌场的赌本是N,p=0.5。赌场的预期收益是

M*N/(M+N)-N*M/(M+N)=0

只要N小于无穷,无论N有多大,赌场并不能从赌客身上赚到钱,我们的直觉还是正确的。

关键词(Tags): #概率元宝推荐:不爱吱声,

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