主题：【原创】兼整理，中庸考辩。 -- 铁手

“三分损益法”既可以生成“五声音阶“，也可以生成”十二律“。但这个十二律只是”十二平均律“的近似。因为”十二平均律“是2的12次方根，是个无理数，但”十二律“是按3的n次方分之一生成的，是个分数也就是有理数，两者不可能完全相等。但后者也正因为是个分数所以实践中更容易做出来，所以”十二平均律“提出后很长一段时间并没有得到重视。（实际上何承天在公元400年左右就已经得到了1.060070671这个数字，和一千多年后朱载堉得出的已经十分接近，对实际应用精度也差不多够了，但实际上却仍然几乎没有乐器按”十二平均律“，所以很可能还是客观条件限制了这方面的发展）。

而且”十二律“和”十二平均律“背后的基础实际上也是不一样的，前者是基于”音的频率变为3/2倍（也即1.5倍）后，呈现非常和谐的音程关系。“，后者是基于”音的频率变为2倍后，两个音呈现完美和谐的音程关系。“。这里的”非常和谐“和”完美和谐“主要是基于人的感受（可能和生理构造），两者如此接近只能说是个巧合。

”十二律“的缺陷是不能实现完美转调，但”十二平均律“能，所以后来在钢琴等乐器中用了后者（其实也有了200多年），使音乐作品的创作自由度和演奏效果大大提高。

朱载堉可能是个完美主义者，他竟然计算了24位小数（1.059463094359295264561825），好在他本人就是个算学家才能完成这么个工作，据说他特制了一个双排81档的算盘，计算了两次平方根一次立方根，得到”十二平均律“数表，并且没有差错。几十年后梅森（就是提出梅森素数那个）在1630年得出了另一个表，但是只有9位小数。同一年数学家Johann Faulhaber得出了另一个表，比梅森的更加精确。