主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定点A和两条直线l、m，找出过A点并与l、m相切的圆（如图）。

解：过l、m的交点做角平分线a。过A点做直线b垂直于a。此时有两种情况：

1. 点A不在a上。在b上找到A点关于a的对称点P。所求圆必过A、P两点且与l（或m）相切，可以采用PPL问题的解法。
   
2. 点A在a上。延长b与l、m分别相交于P、Q两点。在b同侧及l、m上分别找到R、S两点使得|PA| = |PR|、|QA| = |QS|。所求圆必过A、R、S三点，可以采用PPP问题的解法。
   

证明：所求圆与l、m相切，故圆心必在角平分线a上，且该圆关于a对称。当点A不在a上时，所求圆同时过A点及A点关于a的对称点P；当点A在a上时，所求圆与b相切于A点。

分析：当l、m相交时，依赖于A点的位置，可以将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m平行时，做与l、m等距的直线a来代替前述解法中的角平分线，可以采用完全相同的解法，将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。通常PLL问题有两个解。当l、m平行，且A不位于l、m之间时，PLL问题无解。