主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （8）初步的时空模型

提示：如果理解有困难， 可把下文中的 4维时空（流形）替换为3维。 这意味着物理空间只有2维。时间还是一维的。

提示：请注意流形和度量流形的区别（复习（5））：流形上 谈距离弯曲等 没有意义，必须先给度量结构。 给了度量结构就叫度量流形。 一般流形上可以造无穷多种不同的度量结构， 所以说清是哪一个很重要。流形局部上等同于欧氏空间， 但这时说的欧氏空间是没有距离的， 等同则是橡皮膜世界中的等同：同胚（见（4））。 欧氏空间上可以造无穷多种不同的度量结构。 但其中有一种是用标准的方式造的度量（距离）：用勾股定理定义。 这样得到的有标准度量结构的欧氏空间 有时也会被简称为欧氏空间（我尽量避免就是了，但你应该能从上下文判断）。有标准度量结构的欧氏空间是平直的。 虽然流形局部上等同于欧氏空间， 度量流形局部上和 有标准度量结构的欧氏空间 可能是不一样的。 这就是 内在的弯曲。

如果你不理解上文， 应该回顾之前的篇章。 如果要硬着头皮往下读， 要做好随时翻看前文的准备。

提示：接下来 大约七到八篇 是很难的。 如果你胜利地冲过去了， 那你就攀上了 获得较可靠的时空观道路上 第三座高峰了。这基本可以保证 你对时空的理解 在科普科幻爱好者中 处于佼佼者的行列了。

8.0 现在我们来考虑 现实世界的时间与空间。 我准备建立一些关于物理空间和时间的模型。我称它们为时空模型。

8.1 一个初步的时空模型：4维流形

我们的直观体验告诉我们 物理空间似乎是3维的。时间似乎是一维的。它们似乎是无限可分的可以连续改变的存在。 要标记（确定）一个事件（比如一个点的运动），要四个数。 三个定位置，一个定时刻。位置可以连续改变， 时刻也可以。

这不一定是对的。 但我没发现能否定这一点的证据。 我暂且接受它。于是我用四个实数来标记点的运动（或事件）。

4维的欧氏空间中的一个点 就是用四个实数来标记的。 所以我可以 用4维的欧氏空间中的一些点 来标记时空中的点。如此说来 4维的欧氏空间 （注意，我还没考虑度量）像是一个 时空模型。 但等一等， 流形的定义告诉我们 可能出现局部是欧式空间， 但整体不是的情况。 仔细一想， 关于时空 我其实只知道局部的情况 （人类只有不长的历史 和不大的活动范围）， 所以为保险起见， 我不预先排除 时空整体不是欧氏空间的可能。 于是一个更合理的时空模型是: 时空是 4维流形。这里没有任何神秘之处， 因为这基本就是流形的定义。 我不假定 时空包含在其他什么东西里，所以流形就不是嵌入的流形。

8.2 模型太粗糙

4维流形这个模型 是非常粗糙的。 因为我们的经验还包括 我们可在时空中定义（或测量）距离。这距离包括空间的距离和时间的距离（当然这假定我们能把时空分离开，如果不能，那这“距离”可能同时包含时间的空间的贡献）。 然而4维流形 没有距离这种东西。

要特别强调的一点是， 能标记 点在时空中的位置 和 能定义或测量两个点间的距离 是两码事。 奇怪吗？ 仔细想想。哪怕在欧氏空间中 都是这样。 所谓 （比如用4个实数）标记 点在时空中的位置 就是通常讲的 建一个坐标系，用于标记的实数 就叫坐标。给定两个点的坐标， 你能写出它们间的距离吗？ 两个点的坐标是八个数，距离是一个数。 你得告诉我一个法则 从八个数造出一个数来。 給一个法则实际上是给一个定义。你能做的事其实是定义它们间的距离。通常 我们用勾股定理来定义距离（回想一下中学里 怎样在平面直角坐标系下 算距离）。 定义距离 就是 给度量结构。 当然不是说 任何从八个数造出一个数的法则都算距离，有些明显的性质需要满足， 但即便如此， 仍然有太多可能的类型。可以在数学上继续探讨这个问题，但这对我们已没有太大意义。 这是因为下面的原因。

8.3 时空中定义距离是个物理问题

这其实就是爱因斯坦 从狭义相对论起 就强调的一点。要定义两个时空中的点的距离， 需要一个物理上的操作将这两点联系起来 （比如从一点旅行到另一点，或使用某种信号）。 然后从物理操作中 设法提取（定义）一个数 作为距离。 这也是为什么在上文中 我常把测量和定义放在一起。

因此 我们不能随意的 定义距离 （或度量结构）。 我们需要一些 物理上的结果。 这个结果叫 狭义相对论（见下篇）。

8.4 坐标系是局部的

在8.2中 我们说 建一个坐标系 就是用实数 来标记 4维时空（或4维流形）中的点的位置。 8.1 中 我们指出 这等价于说 用4维的欧氏空间中的点 来标记 时空（或流形）中的点的位置。好了， 我们知道 4维流形 可能只有在局部上 才是 4维欧氏空间。 所以 建一个坐标系（用4维的欧氏空间中的点 来标记）这件事 只是在流形的局部上作的。 换言之， 如果流形 是由若干标准模块（局部上的欧氏空间）粘成， 则每个标准模块上 可自带 一个坐标系， 但 一个标准模块上自带的坐标系 未必能 扩张为 整体的 坐标系。

比如 嵌入的（或内在的）2维球面 在1号2号平面膜上 可以各自建立 平面直角坐标系， 但是不可能有整体的平面直角坐标系（如果有，岂不意味着2维球面 是一个平面了？）。

8.5 流形上的度量结构是整体的

这其实包含在5.6的定义中了。 因为在那里我们要求 各个标准模块上的度量结构相互匹配。 注意：度量结构是整体的 和 度量结构的内在弯曲是局部的 并不矛盾。一个给定的度量结构 可以在这一块 弯曲得多一点， 那一片弯曲得少一点。 比如 把一个嵌入的几何球面 拉扯为一个葫芦形的表面后， 就是这种情况。

8.6 度量结构可以用局部的坐标系描述

这事实上也在前面解释了。 还记得 8.2中的 八个数造一个数的法则吗。 定义这个法则就是在局部上描述度量结构， 而八个数是坐标（局部的）。 所以度量结构 可以用局部的坐标系描述。5.4中讲度量结构时 我使用了标架这个词，那里说的标架就是这里说的局部坐标系。当然 用某一个局部的坐标系 描述的只是 度量结构 在装备这一个局部的坐标系的标准模块上的部分。

8.7 度量结构 与局部坐标系选取无关

在8.2中已强调了 坐标系无非就是对点的标记 （相当于给点起名字）， 而距离（度量结构）和你怎么标记点（点的名字叫啥）没有关系。更确切地说， 我们定义度量结构时 就必须要求 度量结构 与局部坐标系选取无关。 这其实是 定义的一部分。

8.8 再读一遍 8.4 到8.7

注意: 8.4 到8.7 属纯粹数学。 但因为 在时空中 度量结构（距离）的定义 是个物理问题，因此我们有：

8.9 从 8.4 到 8.7 的讨论有重要物理意义。

什么意义？ 下面会说。

待续

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