主题：【原创】老彭二三事 -- lucase

ＳＤＥ是英文ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ的缩写，中文翻译为随机微分方程。

一般解微分方程有所谓初值问题，即给定函数在零点时刻的值，依据微分方程给定的关系推出以后时刻函数的变化。例如：根据ｄｘ（ｔ）／ｄｔ＝２，ｘ（０）＝１　可以给出ｘ（ｔ）＝２ｔ＋１．随机微分方程是在方程中引入随机噪音，一般是布朗运动Ｗ。例如：ｄｘ（ｔ）＝２ｄｔ+W(t)ｄＷ（ｔ），ｘ（０）＝２．方程的解是２＋3/２*ｔ＋1/2 * W(t) * Ｗ（ｔ）(注意微积分的分部积分公式不再适用，而应该用所谓的伊藤公式)。这个ＳＤＥ的理论是日本数学家伊藤清为了构造一类马可夫随机过程而提出的。数学金融建立模型的基本语言就是ＳＤＥ，例如获得炸药奖的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式就是假设股票价格ｘ（ｔ）满足ｄｘ（ｔ）＝ｘ（ｔ）（ａｄｔ＋ｂｄＷ（ｔ））。

老彭的开创性的工作是考虑ＢＳＤＥ，ｂａｃｋｗａｒｄ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，即给定ｘ在一个非零时刻Ｔ的值，推导从０到Ｔ的时间段上ｘ的值。例如：ｄｘ（ｔ）＝２ｄｔ＋ｔｄＷ（ｔ），ｘ（１００）＝５。这个例子是ｔｒｉｖｉａｌ的，因为ＢＳＤＥ的一般形式，也是让人惊讶的地方，是ＢＳＤＥ是一个方程两个未知元，例如：ｄｘ（ｔ）＝２ｄｔ＋ｚ（ｔ）ｄＷ（ｔ），ｘ（１００）＝５。而这两个未知元ｘ和ｚ由一个方程和终值条件唯一确定。它们一般是随机过程。相对应的，伊藤清的ＳＤＥ理论就叫做ＦＳＤＥ，ｆｏｒｗａｒｄ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，因为它是初值问题，推导以后时刻解的变化，而ＢＳＤＥ是终值问题，推导的是以前时刻解的变化。ＢＳＤＥ的理论在数学金融中极其有用。但老彭做这个东西的源泉应该是随机控制论。具体的技术细节就不讲了。ＦＢＳＤＥ就是两个互相关联的方程，一个是ＳＤＥ，另一个是ＢＳＤＥ。大家关心这个问题也是来自于随机控制论，随后还发现了它于偏微分方程的关系，例如广义的Ｆｅｙｍａｎｎ－Ｋａｃ公式。

老彭的工作绝对是开创性的，解决的是随机控制论的核心问题，而且是二十年的公开问题。关于他的工作的来龙去脉，可以参见Stochastic Controls: Hamiltonian Systems and HJB Equations 　by Jiongmin Yong　（雍炯敏） ａｎｄ Xun Yu Zhou　（周迅宇）　一书的前言。而且值得一提的是，老彭的工作不是孤立的，而是在复旦良好的学术环境下诞生的。当时他所在的Ｆｕｄａｎ　ｇｒｏｕｐ群星璀璨，雍炯敏和周迅宇也是其中的两员干将。其他的还有李训经，　胡瑛，Ｍａ　Ｊｉｎ等等。其他人的工作也是相当的出色，打个比喻的话，老彭不是独孤求败，而是华山论剑的参与者，和其他人一起组成了东邪西毒南帝北丐，至于谁是王重阳就不好说了，也不是我能评价的了。值得一提的是，他们的主要工作是在１９８７－１９８９年完成的，ｆｕｎｄｉｎｇ远远没法和现在比。但是做的工作确实是世界一流的。只不过当时中国还很穷，大家对基础研究没有现在这么重视，没有大力宣传而已。此后这个群体星流云散，现分布于世界各地。

平时懒得发贴，但是刚好对这段历史有所了解，所以浮上来冒个泡。希望这些足以让我们中国人自豪的科学工作者被更多的人知道。我自己从中得到的经验是：１.做学问一定要解决有重要意义的核心问题。例如ＢＳＤＥ最初不是作为ＦＳＤＥ的补充出现的，而是被随机控制论的核心问题自然引出的。事实表明ＢＳＤＥ也比ＦＳＤＥ难。哲学上的一点体会是好的东西一定是深刻而优美的，反之亦然。做科研切忌空对空的推导。２.好的学术环境至关重要。例如老彭的工作就与当时Ｆｕｄａｎ　ｇｒｏｕｐ每周讨论班的学术活动密不可分。３.看看Ｆｕｄａｎ　ｇｒｏｕｐ的工作，可以体会到做问题是庖丁解牛：顺着问题的脉络做下去，和其他结果的许多联系自然而然的就出来了，新的理论和结果的诞生也是水到渠成。如果只是想要用现有理论生搬硬套，不看问题的本质，江主席总结的好：Ｔｏｏ　ｎａｉｖｅ，　ｔｏｏ　ｓｉｍｐｌｅ。

这又扯到做科研的哲学观和方法论的问题。学习现有的成就是为了锻炼自己的思维，也是为了利用已有的成果，按牛顿的说法是为了站在巨人的肩上；做原创性的科研，则要忘记已有的框框，顺着问题的结构来。做个比喻，这就象金庸笔下的无招胜有招：先是有招，然后才是无招。平时练习剑法是为了练出基本反应，能够见招拆招，这是无招的物质基础。真打起来，谁还顾着这一招是否使完？怎末有效怎末打，对手足够硬的话，就要有原创性的招数来对付了，科研上这就是新理论，新结果了。抄袭Ｎ年前看小说看来的一句话：练习武艺可以走随心所欲，不逾规矩的路子，也可以走不逾规矩，随心所欲的路子。在科研中，这两种风格我还都见过。

罗嗦了，欢迎拍砖。夹带私货是受太史公的影响，俺们中国人不就好以史为鉴这一口吗？另外更正一点，金融数学应该只是老彭现在的一个兴趣方向，个人认为他的根还是在控制论，微分方程。只不过现在这些数学工具在金融中有大量应用而已。还是那句话，好的科学工作者时刻保持敏锐的眼光，永远追逐最有科学价值的问题。